Разведочный факторный анализ и анализ главных компонент #

Модуль Факторный анализ выявляет латентную структуру набора переменных. В нём есть анализ главных компонент (АГК) и девять методов извлечения для разведочного факторного анализа (РФА), а также ортогональные и косоугольные вращения. Работа идёт в три шага: выбор настроек, решение о числе факторов или компонент и полное извлечение с нагрузками, диагностикой и, при желании, факторными оценками. Когда структура ясна (одно измерение или несколько), пункты можно перенести в IRT-анализ и моделировать каждый пункт отдельно, в том числе с помощью многомерной IRT.

АГК или РФА — что выбрать? Компоненты сжато описывают сами переменные, а факторы объясняют, почему переменные коррелируют (анализ главных компонент, разведочный факторный анализ). Чтобы свести много измерений к нескольким показателям, нужен АГК, а чтобы разработать шкалу или проверить теоретическую структуру — РФА.

1. Выберите переменные: не меньше трёх числовых
2. Выберите тип корреляции, метод извлечения и вращение
3. Задайте диапазон числа факторов и решите, нужны ли параллельный анализ и график каменистой осыпи
4. Нажмите Анализ и определение факторов, чтобы проверить пригодность данных и сравнить решения
5. Задайте число факторов и выберите параметры вывода
6. Нажмите Запустить полный анализ, чтобы получить нагрузки, диагностику и оценки

Требования #

Выберите хотя бы три числовые переменные. Категориальные переменные исключаются автоматически, а те из них, что вы выбрали, перечисляются в результатах в строке Исключены (нечисловые): по ней видно, что именно отброшено.

Число факторов, которое можно запросить, тоже ограничено сверху, и предел зависит от метода. Для АГК это число переменных: компонент можно извлечь столько же, сколько переменных. Для РФА это граница Ледермана, и она заметно строже: 6 переменных допускают не больше 3 факторов, 10 — не больше 6, 20 — не больше 14. Этот предел служит верхней границей всех трёх полей с числом факторов, поэтому стрелки поля на нём останавливаются, а значение, оставшееся от более широкого набора переменных, уменьшается до допустимого, когда вы меняете переменные или метод извлечения. Большее число, введённое вручную, шаг 2 и шаг 3 отклоняют с сообщением, где назван предел для вашего числа переменных. За этой границей модель не идентифицирована, и приложение отказывает в расчёте, а не возвращает одно из бесконечного множества решений, которые выдал бы R.

Шаг 1: метод и настройки #

Три выпадающих списка на карточке шага 1 определяют, к какой матрице и каким способом подгоняется анализ: тип корреляции, метод извлечения и вращение. Они действуют на шаге 2, шаге 3 и в сравнении методов извлечения, а каждая карточка результатов указывает, по какой матрице, каким извлечением и с каким вращением она получена.

Тип корреляции #

Факторный анализ подгоняется не к самим переменным, а к их корреляционной матрице, поэтому выбранный здесь тип определяет, что описывают все последующие карточки.

• Тип корреляции — из каких корреляций состоит матрица: Пирсона, Спирмена или латентно-нормальных оценок для порядковых пунктов. Использованный оценщик указан на всех карточках, рассчитанных по матрице.
• Пирсон — по умолчанию: корреляции произведения моментов для непрерывных и примерно нормально распределённых переменных. По такой матрице построено решение, разобранное на странице понятий.
• Спирмен — ранговые корреляции для непрерывных переменных, связанных монотонно, но не линейно, или содержащих выбросы (ρ Спирмена).
• Смешанная (полихорическая/полисериальная) — латентные корреляции для порядковых пунктов (шкал Ликерта) или смеси порядковых и непрерывных переменных. Каждая пара оценивается методом, который соответствует шкалам обеих переменных: полихорическая корреляция для двух порядковых пунктов, тетрахорическая, если у обоих по две категории, полисериальная для порядкового пункта и непрерывной переменной, бисериальная для двухкатегориального пункта и непрерывной переменной (латентно-нормальное семейство). Порядковый тип берётся из панели данных, а не выводится из значений, поэтому бинарный пункт с типом «непрерывная» коррелируется обычным методом Пирсона. Порядковая переменная, у которой больше 8 различных значений, в своих парах обрабатывается как непрерывная, о чём сообщает оповещение с её именем. Если порядковому оценщику не досталось ни одной переменной, расчёт переходит на корреляции Пирсона и тоже сообщает об этом оповещением. Оба оповещения выводятся на всех карточках, рассчитанных по матрице: на карточке пригодности, на шаге 3 и в сравнении методов извлечения. Коды не обязаны быть последовательными целыми числами: 0/0.5 или 1/1.5/2 перед оценкой переводятся в ранги 1…k.

Зачем полихорические корреляции? Грубая шкала 1–5 занижает корреляции Пирсона между пунктами, а полихорическая корреляция оценивает связь между непрерывными признаками, которые стоят за ответами (полихорическая корреляция). Для пунктов опросника тип «Смешанная» обычно подходит лучше всего.

Метод извлечения #

• Метод извлечения — как находятся нагрузки. АГК сжимает переменные в компоненты, а все остальные методы подгоняют модель общих факторов и различаются тем, какое расхождение между наблюдаемыми и воспроизведёнными корреляциями минимизируют (метод извлечения). На пограничных данных выбор важен, при чёткой структуре почти ничего не меняет, а что он меняет на ваших данных, покажет сравнение методов извлечения. Три метода (максимальное правдоподобие, альфа-факторизация и минимальный ранг) не работают с матрицей, не являющейся положительно определённой. Остальные работают со сглаженной матрицей и сообщают об этом на каждой карточке.
• Главные компоненты (АГК) — по умолчанию. Это не факторный анализ: метод извлекает компоненты, которые максимизируют общую дисперсию, без оценки общностей и без статистик соответствия (анализ главных компонент). При АГК вращения бифакторного семейства (Бифакторное и Биквартимин) и преобразование Шмида — Леймана отключены. Косоугольные вращения доступны, и, как в РФА, выводятся матрица корреляций компонент и структурная матрица. Доступно и сравнение методов извлечения: оно сопоставляет ваше компонентное решение с решениями по модели общих факторов.
• Максимальное правдоподобие — предполагает многомерную нормальность и даёт критерий χ² и индексы соответствия в том же смысле, что и КФА (максимальное правдоподобие). Выбирайте его, если переменные распределены примерно нормально и нужна формальная проверка соответствия модели данным. На малой выборке или плохо обусловленной матрице метод может не сойтись, а неположительно определённую матрицу отвергает сразу. В таких случаях перейдите на минимальный остаток или факторизацию главных осей.
• Факторизация главных осей — раскладывает редуцированную корреляционную матрицу по собственным векторам и уточняет общности итерациями, пока они не перестанут меняться. Предположений о распределении метод не делает (факторизация главных осей). Надёжный выбор по умолчанию для РФА и традиционный — для порядковых пунктов и малых выборок.
• Минимальный остаток — напрямую минимизирует квадраты внедиагональных остаточных корреляций. Предположений о распределении метод не делает и сходится там, где максимальное правдоподобие может не сойтись (минимальный остаток). Устойчивый и широко рекомендуемый метод, выбор на случай сомнений.
• Невзвешенный МНК — те же квадраты остатков, но суммированные по всей матрице вместе с диагональю. Численно результат почти совпадает с минимальным остатком, поэтому два этих метода в сравнении не проверяют друг друга независимо (невзвешенный МНК).
• Взвешенный МНК — каждый квадрат остатка взвешивается произведением уникальностей двух пунктов, так что остатки между плохо предсказываемыми пунктами получают больший вес (взвешенный МНК). Из методов наименьших квадратов только этот может не справиться с сильно неположительно определённой матрицей даже после сглаживания.
• Обобщённый МНК — остатки взвешиваются всей обратной корреляционной матрицей. Из критериев наименьших квадратов этот ближе всего к критерию максимального правдоподобия и при этом терпимее к отклонениям от нормальности (обобщённый МНК).
• Взвешенный χ² по минимальному объёму выборки — метод MINCHI из psych: критерий наименьших квадратов, где каждый остаток взвешен числом наблюдений, по которым рассчитана его корреляция (взвешенный χ² по минимальному объёму выборки). Модуль работает с полными наблюдениями, поэтому у всех пар одно и то же число наблюдений, и метод сводится к обычной подгонке наименьшими квадратами.
• Минимальный ранг — подбирает общности так, чтобы общая дисперсия, не объяснённая оставленными факторами, была минимальной, а объяснённая доля действительно была долей (минимальный ранг). Методу нужен пакет Rcsdp, который входит в приложение. Неположительно определённую матрицу метод отвергает.
• Альфа-факторизация — извлекает факторы, которые лучше всего обобщаются на пункты, не вошедшие в опросник, то есть факторы с наибольшим α. Для этого каждый пункт масштабируется по своей общности (альфа-факторизация). Метод полезен, когда пункты сильно различаются долей общей дисперсии. Неположительно определённую матрицу он отвергает.

Какой метод извлечения выбрать? При сомнениях — минимальный остаток или факторизацию главных осей: они ничего не предполагают о распределении и хорошо работают на типичных данных. Максимальное правдоподобие — если переменные распределены примерно нормально и нужна формальная проверка соответствия модели данным (метод извлечения).

Метод вращения #

Вращение поворачивает факторные оси, чтобы нагрузки было проще интерпретировать, и не меняет ни общностей, ни соответствия модели данным (вращение). Каждый вариант — это свой критерий вращения. При чёткой структуре критерии дают одно и то же, а если пункты можно сгруппировать по-разному, от критерия зависит, какую картину нагрузок вы увидите.

• Метод вращения — критерий, по которому вращаются нагрузки: ортогональный (факторы остаются некоррелированными) или косоугольный (факторам разрешено коррелировать). Все вращения, кроме бифакторного и биквартимина, доступны и при АГК. Решение с одним фактором не вращается, что бы здесь ни было выбрано.
• Без вращения — исходное извлечение: на первый фактор приходится как можно больше дисперсии, поэтому на него нагружаются все пункты, а второй фактор оказывается контрастом (вращение).

Ортогональное — факторы остаются некоррелированными, поэтому нагрузки — это обычные корреляции, а результаты легко описать. Цена — перекрёстные нагрузки там, где конструкты на самом деле связаны (ортогональное вращение).

• Варимакс — по умолчанию: максимизирует разброс квадратов нагрузок внутри каждого фактора, так что у фактора остаётся несколько больших нагрузок и много малых (варимакс). Самый распространённый вариант и единственное вращение, при котором Нормализация Кайзера включена по умолчанию.
• Квартимакс — упрощает не столбцы, а строки, то есть нагрузки каждой переменной, и поэтому склонен собирать нагрузки на одном общем факторе (квартимакс).
• Эквамакс — компромисс между варимаксом и квартимаксом. При двух факторах совпадает с варимаксом и расходится с ним по мере роста числа факторов (эквамакс).
• Варимин — варимакс наоборот: распределяет каждый пункт по всем факторам. Подходит, если по теории у пунктов есть общий фактор, который вращение к простой структуре скрыло бы (варимин).
• Геомин T — ортогональный геомин. Требует лишь, чтобы у каждого пункта была хотя бы одна близкая к нулю нагрузка, поэтому реже других вращений скрывает настоящую перекрёстную нагрузку (геомин).
• T-инвариант Бентлера — ортогональная форма инвариантного критерия простоты паттерна Бентлера. На практике даёт результат, близкий к варимаксу (инвариант Бентлера).
• Бифакторное — общий фактор и специфические групповые факторы в одном вращении (бифакторная модель). Если вы ожидаете 3 содержательных измерения, задайте 4 фактора: один общий и три специфических. Вращение доступно только в РФА и, как и биквартимин, требует не меньше 3 факторов, то есть общего и хотя бы 2 групповых. При меньшем числе анализ останавливается с ошибкой, в сравнении методов извлечения тоже. К той же структуре от косоугольного решения ведёт преобразование Шмида — Леймана.

Косоугольное — факторам разрешено коррелировать, и их корреляции выводятся. Нагрузки в этом случае берутся из матрицы паттерна (косоугольное вращение).

• Облимин — стандартное косоугольное вращение и обычный выбор: та же простота, что у варимакса, но факторы могут коррелировать (облимин). Приложение выполняет его при γ = 0, то есть как квартимин, поэтому Квартимин даёт то же решение.
• Промакс — быстрое приближение: нагрузки варимакса возводятся в степень, и решение косоугольно вращается к полученной целевой матрице. Факторы при нём коррелируют немного сильнее, чем при облимине (промакс).
• Квартимин — косоугольный аналог квартимакса, член семейства облимин при γ = 0. Здесь даёт то же решение, что и Облимин (квартимин).
• Симплимакс — напрямую добивается заданного числа близких к нулю нагрузок, по умолчанию их столько же, сколько пунктов (симплимакс).
• Кластер — вращает к целевой матрице, где каждый пункт отнесён к тому фактору, на который нагружается сильнее всего. Это простая структура в самом буквальном виде (кластер).
• Геомин Q — косоугольный геомин (геомин).
• Q-инвариант Бентлера — косоугольный вариант инварианта Бентлера, на практике близкий к облимину (инвариант Бентлера).
• Биквартимин (косоугольный бифакторный) — косоугольный аналог вращения Бифакторное: общий фактор и коррелирующие групповые факторы (бифакторная модель). Уточнение в названии нужно потому, что на деле выполняется косоугольный бифакторный критерий Дженнриха — Бентлера, а не исходный биквартимин Кэрролла. Требования те же, что у бифакторного вращения: не меньше 3 факторов и только РФА. Преобразование Шмида — Леймана к нему не применяется, поскольку общий фактор это вращение задаёт уже само.

Ортогональное или косоугольное? Конструкты редко бывают независимыми (тревожность и депрессия коррелируют), поэтому реалистичный выбор по умолчанию — косоугольное вращение. Если факторы окажутся некоррелированными, их корреляции будут близки к нулю, а решение будет похоже на варимакс (косоугольное вращение). При сомнениях начинайте с облимина.

Шаг 2: определение числа факторов #

Прежде чем запускать полный анализ, этот шаг проверяет, поддаются ли выбранные переменные факторизации, и сравнивает возможные числа факторов, чтобы число на шаге 3 было обоснованным решением, а не догадкой. На карточке Выбор модели собраны проверки пригодности, необязательная таблица MSA по переменным, график каменистой осыпи с рекомендациями правил отбора и таблица сравнения моделей. Ни одно число факторов на карточке не превышает предела для вашего метода.

Настройка #

• Диапазон факторов/компонент для проверки — какие числа факторов подгоняет таблица сравнения моделей, по строке на каждое. Правила отбора под графиком осыпи проверяют все числа, которые модель может идентифицировать, поэтому рекомендация может оказаться за пределами диапазона.
• Минимум — наименьшее число для подгонки (по умолчанию 1).
• Максимум — наибольшее число для подгонки (по умолчанию 6). Верхняя граница поля — предел для вашего метода и числа переменных: при АГК это число переменных, при РФА — граница Ледермана. Большее значение, введённое вручную, отклоняется с сообщением, где назван максимум.
• Запустить параллельный анализ — включено по умолчанию. Строит случайные наборы данных того же объёма, что и ваша выборка, и сравнивает их собственные значения с вашими при двух нулевых моделях (параллельный анализ). Число наборов задаёт поле Повторы параллельного анализа ниже. Два полученных числа факторов выводятся под графиком осыпи, а четыре кривые — на нём самом.
• Повторы параллельного анализа — видно, пока включён параллельный анализ: число случайных наборов данных, от 20 до 1000, по умолчанию 100. Фактор рекомендуется оставить, только если его собственное значение превышает 95-й процентиль этих повторов. Поэтому нижняя граница равна 20: при меньшем числе повторов «95-й процентиль» по сути совпадает с наибольшим из них, а порог становится гораздо консервативнее и сильнее зависит от случая. Уменьшать значение имеет смысл в основном при типе корреляции Смешанная (полихорическая/полисериальная), где каждый повтор занимает около двух секунд. Для корреляций Пирсона и Спирмена повторы считаются так быстро, что значение по умолчанию почти не сказывается на времени расчёта.
• Показать график каменистой осыпи — включено по умолчанию, выводит сам график. Рекомендации под ним выводятся в любом случае, так что без этого флажка пропадает только рисунок, а числа остаются.
• Показать MSA по переменным — выключено по умолчанию. Добавляет таблицу адекватности выборки по переменным и список наибольших частных корреляций антиобраза.

Чтобы запустить расчёт, нажмите Анализ и определение факторов.

Проверка пригодности данных #

Проверка пригодности данных. Таблица из пяти проверок корреляционной матрицы: у каждой есть значение, а при включённой настройке интерпретации — ещё и вывод. Если настройка выключена, в строках остаются только числа. Над таблицей карточка перечисляет переменные и исключённые нечисловые, указывает объём выборки с числом строк, потерянных при построчном удалении (20 из 120 строк исключены (построчно) из-за пропущенных значений), и тип корреляции, по которому построена матрица. От этих двух фактов зависит каждое число ниже, поэтому экспортированную карточку можно понять и без остального вывода.

• Мера Кайзера — Мейера — Олкина (KMO) — общая адекватность выборки от 0 до 1 по шкале Кайзера — Райса: Превосходная от 0.90, Похвальная от 0.80, Средняя от 0.70, Посредственная от 0.60, Плохая от 0.50, Неприемлемая ниже (KMO). Если KMO ниже 0.50, оповещение сообщает, что данные не подходят для факторного анализа, независимо от настройки интерпретации. На сингулярной матрице вместо вывода стоит Ненадёжно (сингулярная матрица), и значению доверять нельзя.
• Критерий сферичности Бартлетта — χ² и p-значение для нулевой гипотезы о том, что переменные не коррелируют (критерий Бартлетта). Если p выше уровня значимости для проверки допущений, появляется оповещение: факторизовать нечего. На сингулярной, неположительно определённой или неполноранговой матрице вывод заменяется на Ненадёжно (сингулярная матрица). Для матрицы типа Спирмен, полихорической или смешанной строка легенды оговаривает, что p-значение в лучшем случае приближённое.
• Детерминант корреляционной матрицы — насколько матрица далека от сингулярной: 1 у некоррелированных переменных и 0 у сингулярной матрицы (детерминант). Значение и порог Филда 0.00001 выводятся всегда. Вывод Обнаружена мультиколлинеарность и оповещение о ней появляются, только если это подтверждает одна из проверок, не зависящих от числа переменных: неполный ранг, пара с корреляцией выше |r| = 0.9 или переменная с квадратом множественной корреляции выше 0.99. Иначе в строке стоит Приемлемая. Отдельное оповещение называет каждую пару с |r| выше 0.9, и шаг 3 повторяет эту проверку.
• Наименьшее собственное значение — минимальное собственное значение корреляционной матрицы с выводом Матрица положительно определена или Матрица не является положительно определённой (положительная определённость). Порогом служит не ноль, а небольшой вычислительный допуск, тот же, что в предварительной проверке шага 3 и в таблице сравнения моделей, поэтому три проверки никогда не расходятся. Матрица, не прошедшая проверку, сглаживается для всех методов извлечения, которые могут работать со сглаженной матрицей, а максимальное правдоподобие, альфа-факторизация и минимальный ранг её отвергают. Об этом сообщает оповещение под таблицей. Матрица типа Смешанная (полихорическая/полисериальная) исправляется ещё при построении и после этого проходит проверку, поэтому об исправлении сообщает отдельное оповещение, которое повторяется над каждой карточкой, рассчитанной по матрице.
• Отношение наблюдений к переменным — число полных наблюдений на одну переменную (отношение наблюдений к переменным). Вывод — Достаточно, Ниже рекомендуемого 5:1 или Слишком малая выборка. Последний ставится при числе наблюдений меньше 50 и имеет приоритет над остальными. Оба неблагоприятных вывода повторяет оповещение под таблицей, так что о нехватке данных вы узнаёте здесь, а не после шага 3.

Под таблицей оповещения сообщают о том, чего не видно в строках. Первым стоит заняться оповещением Обнаружены избыточные переменные: оно появляется, когда ранг матрицы меньше числа переменных, и перечисляет каждую избыточную переменную вместе с теми, из которых она воспроизводится (Total ← Item A, Item B, Item C). Сингулярная матрица делает ненадёжными KMO, критерий Бартлетта и частные корреляции антиобраза, а плохо обусловленная уже останавливает методы извлечения, не умеющие сглаживать. Кроме того, оповещения называют идеально коррелирующую пару, неположительно определённую матрицу и переменную, чей квадрат множественной корреляции с остальными выше 0.99 (это почти наверняка даст случай Хейвуда на шаге 3). Сюда же выводятся оповещения смешанного оценщика с шага 1 о переходе на корреляции Пирсона и о переводе переменных в непрерывные, а также о непройденных проверках KMO, Бартлетта и объёма выборки. Оповещения выводятся независимо от настройки интерпретации, и при выключенной интерпретации только по ним видно, что KMO или критерий Бартлетта не пройдены. Удалите по одной переменной из каждой названной группы или пары (обычно суммарный балл, а его составляющие оставьте) и запустите анализ заново.

Что показывают эти проверки? KMO проверяет, достаточно ли у переменных общей дисперсии, чтобы существовали общие факторы, а критерий Бартлетта — минимальное условие: коррелируют ли переменные вообще (Можно ли факторизовать пункты?). При KMO ниже 0.50 или незначимом критерии Бартлетта факторный анализ этих переменных проводить не стоит.

MSA по переменным (необязательно) #

Мера адекватности выборки по переменным (MSA). Таблица по строке на переменную, отсортированная по возрастанию, показывает адекватность выборки для каждой переменной в отдельности: это диагональ матрицы корреляций антиобраза, оценённая по шкале KMO. Строки ниже 0.50 закрашены красным, ниже 0.60 — жёлтым, и обе границы повторены в строке легенды. У переменной с MSA ниже 0.50 слишком мало общего с остальными, чтобы войти в какой-либо фактор, поэтому подумайте, не исключить ли её. Обе таблицы этого раздела выводятся флажком Показать MSA по переменным и не выводятся, если корреляционную матрицу нельзя обратить: без обратной матрицы ни одну из них не вычислить.

• Переменная — переменная, к которой относится строка.
• MSA — мера адекватности выборки для переменной, от 0 до 1, чем больше, тем лучше. Это вариант KMO для отдельной переменной.
• Интерпретация — оценка MSA по шкале KMO, от Превосходная до Неприемлемая. Выводится при включённой настройке интерпретации.

Наибольшие частные корреляции антиобраза. Десять пар переменных с наибольшими по модулю частными корреляциями антиобраза, начиная с худшей. Цвет задаёт ваша настройка Шкала силы корреляции: жёлтый начиная с уровня Умеренная (по умолчанию 0.5), красный — с уровня Сильная (по умолчанию 0.7). Если список обрезан, примечание называет общее число пар. Полная матрица p × p выводится на шаге 3, а этот список нужен, чтобы исправить набор переменных ещё до выбора числа факторов.

• Пара переменных — две переменные, между которыми вычислена частная корреляция.
• Частная корреляция антиобраза — корреляция, которая остаётся между двумя переменными после исключения всех остальных выбранных переменных. В наборе, пригодном для факторизации, такие корреляции близки к нулю. Большое значение означает, что у пары есть что-то общее, не объяснённое ни одним общим фактором, и именно эта пара занижает MSA обеих переменных. Обычно это почти дублирующие друг друга пункты или пара с методическим эффектом, которого нет у остальных. Если исключить одну из двух переменных или объединить их, MSA обычно растёт у обеих.

График осыпи #

График каменистой осыпи. Интерактивный график собственных значений по порядку, от наибольшего, с ориентирами всех правил отбора (график каменистой осыпи). При РФА кривая строится по редуцированной корреляционной матрице, с которой работает извлечение, вместе с отрицательным хвостом, а позади неё серым показаны собственные значения исходной корреляционной матрицы. При АГК ряд один (два ряда собственных значений). Размер графика можно менять, а сам график — экспортировать в SVG, PNG или JPG (изменение размера и экспорт графиков).

На графике показаны:

• Наблюдаемые собственные значения — синяя линия, точки которой показывают значения при наведении
• Корреляционная матрица — только РФА, серая линия: собственные значения нередуцированной корреляционной матрицы, по которым работают критерий Кайзера и эмпирический критерий Кайзера. При АГК не рисуется, поскольку там оба ряда совпадают
• Локоть — увеличенная точка на синей кривой там, где её отмечает правило локтя. Номер фактора в этой точке и есть число, которое даёт метод локтя
• Критерий Кайзера — красная пунктирная линия на уровне собственного значения 1, порог критерия Кайзера, описанного ниже
• Эмпирический критерий Кайзера — коричневая пунктирная линия: ориентир эмпирического критерия Кайзера для каждой позиции. На первой позиции он выше кайзеровской единицы, а дальше приближается к ней
• Метод выпуклой оболочки — только РФА, розовая пунктирная вертикальная линия на числе факторов, которое оставляет метод выпуклой оболочки. Это число, а не уровень, поэтому линия и проведена поперёк остальных. Рисуется, только если число больше единицы и попадает в показанный диапазон, а рекомендация называет его в любом случае
• Имитационные данные (95-й проц.) — фиолетовая пунктирная линия, если выполнялся параллельный анализ: 95-й процентиль собственных значений многомерных нормальных случайных данных
• Данные повторной выборки (95-й проц.) — зелёная пунктирная линия: тот же процентиль по наборам, где каждый ваш столбец случайно перемешан, так что распределение каждой переменной сохраняется
• Имитационные данные (среднее) и Данные повторной выборки (среднее) — те же две нулевые модели на уровне среднего собственного значения, бледными линиями. Числа факторов определяются по кривым 95-го процентиля. Процентиль лежит выше среднего, поэтому пересечение со средней кривой указывает на большее число факторов, чем рекомендация

Под графиком в блоке рекомендаций перечислено, сколько факторов оставляет каждое правило отбора: до девяти чисел при РФА и до восьми при АГК, где нет метода выпуклой оболочки. Блок выводится независимо от флажка Показать график каменистой осыпи: решение принимается по числам, а график их только иллюстрирует. Правила не обязаны совпадать, и почему небольшой фактор их разводит, объяснено в разделе Сколько факторов.

• Критерий Кайзера — число собственных значений больше 1 в ряду корреляционной матрицы. При РФА рекомендация помечена (корреляционная матрица) (критерий Кайзера). Считается по значениям в том виде, в каком они выведены, поэтому никогда не расходится с округлённым столбцом таблицы. Склонен завышать число факторов
• Эмпирический критерий Кайзера — критерий Бракена и ван Ассена (Braeken & van Assen, 2017) сравнивает тот же ряд не с единицей, а с отдельным ориентиром для каждой позиции и оставляет факторы до первой позиции, где значение ниже ориентира (эмпирический критерий Кайзера). Если он расходится с обычным критерием Кайзера, предпочтение стоит отдать ему
• Метод выпуклой оболочки — только РФА. Метод Лоренсо-Севы, Тиммерман и Кирса (Lorenzo-Seva, Timmerman & Kiers, 2011) берёт число факторов в изломе границы «соответствие — степени свободы», построенной по всем решениям, которые модель может идентифицировать (метод выпуклой оболочки). Работает по подогнанным решениям, а не по собственным значениям, при АГК не выполняется и не выводится, если у границы нет излома
• Метод локтя — точка синей кривой, наиболее удалённая от прямой, соединяющей первое и последнее собственные значения (локоть). Это то же правило, что и на графике локтя в кластерном анализе. Если кривая изгибается слишком слабо, число не выводится. На чёткой структуре метод даёт на единицу больше параллельного анализа, поэтому используйте его как проверку остальных правил, а не как окончательный ответ
• Параллельный анализ (имитационные данные) — факторы, собственные значения которых выше 95-го процентиля собственных значений многомерных нормальных случайных данных. Число наборов задаёт поле Повторы параллельного анализа (параллельный анализ). Рекомендуемая отправная точка
• Параллельный анализ (данные повторной выборки) — то же правило, но нулевая модель строится перемешиванием ваших собственных столбцов (параллельный анализ с повторной выборкой). На симметричных пунктах обе нулевые модели дают одно и то же, а на асимметричных или грубых шкалах расходятся, и тогда предпочтительнее это число
• MAP Велицера — число факторов, при котором средний квадрат частной корреляции минимален. Он вычисляется от одного фактора до предела для вашего метода независимо от заданного диапазона, поэтому может оказаться ниже Минимума или выше Максимума (MAP Велицера). Обычно им проверяют параллельный анализ: если критерий Кайзера склонен завышать число факторов, то MAP — занижать
• VSS₁ и VSS₂ — числа факторов, при которых критерий очень простой структуры максимален при сложности 1 и 2. Они берутся из того же полного ряда, по которому выделяет ячейки таблица сравнения моделей, поэтому рекомендация и выделенная ячейка всегда совпадают (очень простая структура). VSS₂ пропускает позицию с одним фактором, где критерий не определён

Если часть прогонов параллельного анализа завершилась неудачей (обычное дело для полихорических и смешанных корреляций, где матрицу по перемешанным данным иногда невозможно оценить), примечание под блоком сообщает, сколько из запрошенных прогонов дали собственные значения: процентили вычисляются только по ним.

Какой рекомендации следовать? Начните с параллельного анализа, рассматривая обе его нулевые модели вместе, и сверьте результат с MAP Велицера. Если параллельный анализ, MAP и метод выпуклой оболочки сходятся, это сильный довод, а локоть служит лишь проверкой и на решение не влияет (Сколько факторов). Если правила расходятся, подгоните каждое из возможных чисел на шаге 3 и оставьте решение, факторы которого поддаются интерпретации.

Сравнительная таблица моделей #

Таблица сравнения моделей. По строке на каждое число факторов из заданного диапазона, и каждая строка — отдельное решение, подогнанное без вращения. В ней собственное значение, доля дисперсии, при РФА — индексы соответствия, а затем диагностика простой структуры, общая для обоих методов (сравнение моделей). Значения, прошедшие пороги хорошего соответствия, выделены полужирным, строки с собственным значением корреляционной матрицы больше 1 подсвечены синим, а легенда под таблицей повторяет каждое действующее правило. Ищите строку, на которой индексы перестают меняться: при истинном числе соответствие резко улучшается, а дальше выигрыша нет.

• N — число факторов или компонент в строке. Это ещё и кнопка: щелчок переносит число на шаг 3, то есть заполняет поле Количество факторов/компонент, обновляет зависящие от него параметры и подтверждает перенос всплывающим уведомлением. Значок † рядом с числом отмечает решение, которое не сошлось за допустимое число итераций. Его индексы выведены, но относятся к несошедшейся модели, поэтому перезапустите расчёт, прежде чем выбирать это число. Пояснение появляется при наведении на значок и повторено в строке легенды. Строки с пометкой Подгонка не удалась или Подгонка не выполнялась ничего не переносят, и число в них остаётся обычным текстом
• Подгонка не удалась — решение пытались подогнать, но не смогли. Строка остаётся в таблице и не удаляется. Сообщение R появляется при наведении на метку и обычно позволяет отличить избыточно параметризованную модель от вращения, которое не работает при таком числе факторов
• Подгонка не выполнялась — подогнать решение даже не пытались: максимальное правдоподобие, альфа-факторизация и минимальный ранг отвергают неположительно определённую матрицу, поэтому на такой матрице так помечены все строки, а предупреждение над таблицей объясняет причину. Столбцам собственных значений и графику осыпи подгонка не нужна, и они остаются в силе. Исправьте матрицу (карточка пригодности подскажет, что удалить) или перейдите на минимальный остаток или факторизацию главных осей: они сглаживают матрицу и выполняют подгонку
• Собственное значение — собственное значение на этой позиции. При РФА оно берётся из редуцированной корреляционной матрицы: именно с ней работает извлечение и её рисует синяя кривая. При АГК — из корреляционной матрицы (собственное значение)
• λ (корреляционная матрица) — только РФА: та же позиция в ряду нередуцированной корреляционной матрицы. По этому числу работают правило Кайзера и синяя подсветка строк (два ряда собственных значений)
• % последнего фактора — доля общей дисперсии, которую объясняет один N-й фактор. При АГК столбец называется % последней компоненты. Каждая строка — отдельное решение, поэтому здесь стоит вклад только последнего фактора, а итог решения показывает следующий столбец
• Накопленный % — итог решения: доля дисперсии переменных, которую оно объясняет, то есть его средняя общность. Выделяется полужирным начиная с 70%. При АГК растёт до 100% по мере добавления компонент, а при РФА выходит на уровень общей дисперсии. Значение ниже 40 означает, что факторы объясняют лишь малую часть дисперсии отдельных переменных

При РФА дальше идут индексы соответствия. Оценки в них выставляются по вашим порогам соответствия:

• df — число степеней свободы, которое остаётся у модели. При нуле и ниже индексы строки не оцениваются: ничего не выделено полужирным, в ячейке Интерпретация стоит Не интерпретируется (df ≤ 0), а строка легенды объясняет причину. Такая модель воспроизводит корреляционную матрицу по построению, поэтому идеальный CFI или нулевой SRMR здесь ничего не значат (насыщенная модель). Граница Ледермана — ровно то число факторов, при котором df становится равным 0
• χ²(df), p — критерий точного соответствия для модели этой строки: воспроизводит ли она корреляционную матрицу с точностью до выборочной ошибки (критерий хи-квадрат соответствия модели). При df ≤ 0 в ячейке стоит Н/Д
• RMSEA — рассогласование на одну степень свободы, чем меньше, тем лучше. Выделяется полужирным на приемлемом пороге и ниже (по умолчанию 0.08) (RMSEA)
• CFI — улучшение по сравнению с базовой моделью некоррелированных переменных. Выделяется полужирным от приемлемого порога и выше (по умолчанию 0.90) (CFI)
• TLI — CFI со штрафом за свободные параметры, порог тот же (TLI)
• BIC — байесовский информационный критерий по χ² правдоподобия, выделяется полужирным на минимуме (BIC)
• EBIC — тот же компромисс, но рассчитанный по остаточным корреляциям решения, а не по правдоподобию. Выделяется на собственном минимуме, который может прийтись не на ту строку, что у BIC (EBIC)
• SABIC — BIC с поправкой на объём выборки
• ESABIC — EBIC с той же поправкой на объём выборки
• SRMR — средняя остаточная корреляция, стандартизованная общепринятым способом, чтобы к ней был применим порог. Выделяется полужирным на пороге и ниже (по умолчанию 0.08) (SRMR)
• Среднеквадратический остаток (psych) — собственный среднеквадратический остаток psych: те же остатки, но с другим делителем, поэтому значение немного выше SRMR. Дополнительная диагностика без оценки
• Среднеквадратический остаток с поправкой на df — та же сводка, но делённая на число степеней свободы, а не на число остатков. Не оценивается

При обоих методах:

• Сложность — средняя по переменным сложность Хоффмана: 1.0, если каждая переменная нагружается ровно на один фактор. Полужирным выделяется значение не выше 1.2. Сложность считается по копии невращённого решения строки, повёрнутой варимаксом, поэтому измеряет то же, что качество решения на шаге 3. Шаг 3 оценивает выбранное вами вращение, так что при косоугольном вращении значения могут различаться
• Неотнесённые переменные — сколько переменных не имеют ни одной выраженной нагрузки, то есть ни одна их нагрузка на той же копии с варимаксом не достигает 0.3 по модулю. Выделяется полужирным при 0. Порог 0.3 — общепринятая граница выраженной нагрузки, и он фиксирован: за порогом отображения нагрузок он не следует
• VSS₁ — критерий очень простой структуры при одной сохранённой нагрузке на переменную. Выделяется полужирным на максимуме по всем числам факторов, которые модель может идентифицировать. Это тот же полный ряд, по которому даёт рекомендацию график осыпи, поэтому они всегда совпадают
• VSS₂ — то же при двух сохранённых нагрузках на переменную, выделяется так же. Если факторов в строке меньше, чем сложность столбца, в ячейке стоит -: критерий здесь не определён, а 0 в столбце, где больше значит лучше, выглядел бы как очень плохое соответствие, а не как его отсутствие
• MAP — минимальная средняя частная корреляция Велицера, выделяется полужирным на минимуме по всем числам факторов начиная с одного. Если в столбце нет выделенной ячейки, оптимум лежит за пределами вашего диапазона, и рекомендация называет, где именно
• Интерпретация — оценка строки, показывается при включённой интерпретации. При РФА это худшая категория, которой достигает в строке любой из индексов RMSEA, CFI, TLI и SRMR, так что одного плохого индекса хватает, чтобы строка лишилась оценки Отличное соответствие. Где строку нельзя оценить, стоит Не интерпретируется (df ≤ 0). При АГК оценивается Накопленный %: Отличное покрытие дисперсии от 80%, Хорошее от 70%, Достаточное от 60%, Низкое ниже

Строки легенды под таблицей повторяют правила, которые в ней применены, и ещё две появляются при необходимости. Процедура VSS из psych работает не с каждым методом извлечения (с методом Альфа-факторизация она не работает никогда). В таком случае столбцы VSS₁, VSS₂ и MAP вычисляются методом минимального остатка, и строка легенды называет замену. MAP от метода извлечения не зависит, а оба столбца VSS описывают решение метода-замены, поэтому считайте их ориентировочными. Если не сработала и замена, а также при АГК, где повторной попытки нет, все три столбца пусты во всех строках, о чём сообщает строка легенды. При любом методе извлечения, кроме максимального правдоподобия, отдельная строка уточняет смысл столбцов, основанных на χ². Значения χ², RMSEA, CFI, TLI, BIC и SABIC берутся из функции расхождения максимального правдоподобия, каким бы методом ни были получены нагрузки, поэтому при других методах это приближения, скорее преуменьшающие соответствие модели данным, и оценки в столбце Интерпретация соответственно консервативны. То же примечание выводится под индексами соответствия шага 3 и в сравнении методов извлечения.

Если корреляционная матрица была сглажена (при оценивании смешанных корреляций или перед этими подгонками, см. Проверка пригодности данных), над таблицей появляется предупреждение, и все индексы соответствия в ней относятся к сглаженной матрице.

Как читать индексы соответствия. Ни один индекс не даёт полной картины. Ищите согласие: RMSEA, CFI, TLI и SRMR должны указывать на одно и то же число, а информационные критерии сравнивайте по строкам, где лучше меньшее значение (индекс соответствия). Если минимумы BIC и EBIC приходятся на разные строки, данные действительно не позволяют выбрать между двумя числами (EBIC), и решают параллельный анализ и интерпретируемость.

Шаг 3: полный анализ #

Когда число определено (введено в поле Количество факторов/компонент или перенесено щелчком по N в строке таблицы сравнения моделей), нажмите Запустить полный анализ. Заголовок карточки результатов называет выполненные извлечение и вращение, а в её начале перечислены переменные, исключённые нечисловые переменные, объём выборки, число факторов и, если вращение выполнялось, применялась ли к нему Нормализация Кайзера. Поэтому две карточки с одинаковым заголовком не могут содержать разные решения, а экспортированная карточка сохраняет свои настройки. Разделы карточки идут в порядке, описанном ниже, и те, что зависят от параметров вывода, выводятся только при включённом параметре.

Настройка анализа #

• Количество факторов/компонент — по умолчанию 3, от 1 до предела для вашего метода: при АГК это число переменных, при РФА — граница Ледермана. Решение с одним фактором не вращается, что бы ни было выбрано в списке: карточка получает заголовок Без вращения, корреляций факторов и структурной матрицы нет, а Нормализация Кайзера и Корреляции факторов/компонент при числе 1 отключаются сами, а не принимаются и игнорируются (вращение). Выбранное вращение в списке сохраняется и сработает, когда вы увеличите число факторов.
• Сравнить методы извлечения — открывает сравнение методов извлечения, где заданное выше число факторов подгоняется несколькими методами извлечения общих факторов параллельно. При АГК ваше компонентное решение служит опорным для сравнения конгруэнтности.
• Нормализация Кайзера — перед вращением приводит нагрузки каждой переменной к единичной длине, а после вращения восстанавливает их, так что переменная с низкой общностью наравне с остальными влияет на положение осей (нормализация Кайзера). Работает с любым вращением, в том числе при АГК, и недоступна при Без вращения и при одном факторе. Значение по умолчанию зависит от вращения (включено для Варимакс, выключено для всех остальных) и сбрасывается при выборе вращения, поэтому задавайте его после вращения. Нормализация меняет вращённые нагрузки и корреляции факторов (при чёткой структуре незначительно), но не затрагивает общности, объяснённую дисперсию и индексы соответствия.

Параметры вывода #

Каждый флажок добавляет раздел в карточку результатов. По умолчанию выводятся нагрузки, общности и объяснённая дисперсия, а при косоугольном вращении ещё и корреляции факторов.

• Матрица нагрузок — включено по умолчанию. Основной результат: по строке на переменную и по столбцу на фактор (Матрица нагрузок).
• Доверительные интервалы (бутстрэп) для нагрузок — выключено по умолчанию. Вложенный параметр матрицы нагрузок: под каждой нагрузкой выводится бутстрэп-интервал с коррекцией смещения, но для этого всё решение заново подгоняется на каждом повторе (Доверительные интервалы для нагрузок).
• Общности — включено по умолчанию: доля дисперсии каждой переменной, объяснённая факторами. Выводится столбцом таблицы нагрузок, а если матрица нагрузок выключена, — отдельной таблицей.
• Объяснённая дисперсия — включено по умолчанию: сколько дисперсии приходится на каждый фактор, в долях от двух разных знаменателей (Объяснённая дисперсия).
• Корреляции факторов/компонент — матрица корреляций между факторами Φ, для АГК так же, как для РФА. Флажок виден и включается сам только при косоугольном вращении и не меньше чем 2 факторах, поскольку Φ — главный результат косоугольного решения. Если потом снять флажок, он останется снятым (Корреляции факторов/компонент, корреляции факторов).
• Преобразование Шмида — Леймана — представляет косоугольное решение РФА как общий фактор и ортогональные групповые факторы и выводит коэффициенты омега. Флажок виден только при косоугольном вращении в РФА, кроме Квартимин и Биквартимин (косоугольный бифакторный), начиная с 2 факторов (Преобразование Шмида — Леймана).
• Факторные оценки Шмида — Леймана — оценки каждого наблюдения по общему и групповым факторам. Флажок появляется, когда включено преобразование (Факторные оценки Шмида — Леймана).
• Доверительные интервалы для коэффициентов омега — бутстрэп-интервал для каждой строки таблицы омега: ωh, ωt, ωh/ωt, ECV, омеги субшкал и каждый коэффициент H. Флажок появляется, когда включено преобразование. Расчёт медленный, поскольку на каждом повторе преобразование выполняется заново (Коэффициенты надёжности омега).
• Остаточные корреляции — полная матрица разностей между наблюдаемыми и воспроизведёнными корреляциями (Матрица остаточных корреляций). Число больших остатков выводится в индексах соответствия независимо от этого флажка.
• Корреляции антиобраза — матрица частных корреляций с обратным знаком, на диагонали MSA каждой переменной (Матрицы антиобраза, корреляция антиобраза). Её диагональ и есть MSA по переменным с шага 2.
• Ковариации антиобраза — та же матрица в ковариационной форме, на диагонали непредсказанная дисперсия каждой переменной (Матрицы антиобраза, ковариация антиобраза).
• Оценки факторов/компонент — оценка каждого наблюдения по каждому фактору вместе с детерминированностью, коэффициентами оценок и корреляциями между оценками. Оценки рассчитываются методом, выбранным в поле Метод расчёта оценок ниже (Факторные/компонентные оценки, факторные оценки).
• Диаграмма путей — изображает структуру: факторы, переменные, нагрузки, а при косоугольном вращении и корреляции факторов (Диаграмма путей).
• Показать значения на диаграмме — включено по умолчанию, когда отмечена Диаграмма путей: рядом с линиями выводятся нагрузки, корреляции и уникальности. Выключите флажок, чтобы видеть только структуру.
• Метод расчёта оценок — появляется, когда включены факторные оценки или оценки Шмида — Леймана. Это правило, по которому решение превращается в оценку для каждого наблюдения, и каждое правило выигрывает в одном свойстве ценой другого (оценивание факторных значений). При одном факторе поле закреплено на Регрессия и недоступно, поскольку все четыре метода дают тогда одинаковые оценки.
• Регрессия — по умолчанию: оценки, наиболее тесно коррелирующие с фактором. Цена — стягивание к среднему и корреляции оценок, которые преувеличивают корреляции факторов (регрессионные оценки).
• Бартлетт — несмещённые оценки без стягивания к среднему ценой небольшой потери детерминированности (оценки Бартлетта).
• Андерсон — Рубин — оценки, принудительно сделанные некоррелированными, на случай, если дальше нужны некоррелированные предикторы. При косоугольном вращении они противоречат корреляциям факторов самой модели, и подсказка под списком об этом предупреждает (оценки Андерсона — Рубина).
• Тен Берге — оценки, сохраняющие корреляции: их корреляции равны корреляциям факторов, поэтому их выбирают, если корреляции оценок будут интерпретироваться как корреляции самих факторов (оценки Тен Берге).
• Порог отображения нагрузок — нагрузки меньше этого значения по модулю не показываются в таблице нагрузок (по умолчанию 0.3). Значение вне диапазона 0–1 исправляется до ближайшей границы, а пустое поле показывает всё. Диаграмма путей скрывает те же нагрузки, но у каждой переменной оставляет самую сильную нагрузку на групповой фактор (если она ниже порога, линия бледная и пунктирная), чтобы ни одна переменная не осталась без связи. На общий фактор бифакторного или иерархического решения это исключение не распространяется. Подсчёт значимых нагрузок за этим порогом не следует.

Диагностика и предупреждения #

Диагностика и предупреждения. Все сработавшие проверки выводятся оповещениями в начале карточки результатов: сначала ошибки, затем предупреждения и примечания. Каждое оповещение называет затронутые переменные или значения. Проверки матрицы выполняются до подгонки и совпадают с проверками шага 2, поэтому они видны и при неудачном расчёте: рядом с ошибкой, обычно вместе с причиной, по которой извлечение не выполнилось, а исключённые переменные, как и при удачном, перечислены в строке Исключены (нечисловые). Проверки модели выполняются после подгонки. Оповещения о преобразовании Шмида — Леймана, если выводится иерархическая карточка, переходят в её раздел диагностики, к числам, которые они уточняют.

Ошибки останавливают расчёт или помечают решение как недопустимое:

• Матрица не положительно определена — наименьшее собственное значение отрицательно или отличается от нуля лишь на ошибку округления, а выбранный метод — максимальное правдоподобие, альфа-факторизация или минимальный ранг, который с такой матрицей не работает. Если на такой матрице после подгонки отказывает другой метод (взвешенный МНК при сильном нарушении), выводится то же сообщение. Оно называет метод и собственное значение и советует перейти на минимальный остаток или факторизацию главных осей, а если отказал один из них — проверить линейные зависимости между переменными. Все остальные методы работают на сглаженной матрице и выводят предупреждение, описанное ниже.
• Постоянная переменная — одна или несколько переменных принимают одно и то же значение во всех наблюдениях, поэтому корреляции для них не вычислить. Сообщение называет эти переменные. Уберите их из выбора.
• Слишком мало наблюдений — если наблюдений не больше, чем переменных, корреляционная матрица сингулярна. Добавьте наблюдения или уберите переменные.
• Корреляционная матрица не построена — матрица не была вычислена, обычно из-за того, что не загрузился пакет R. Исходная ошибка видна в консоли R.
• Идеальные корреляции — пары переменных с r = 1. Уберите по одной переменной из каждой пары.
• Бифакторное вращение при числе факторов меньше 3 — вращениям Бифакторное и Биквартимин (косоугольный бифакторный) нужны общий фактор и хотя бы 2 групповых. Извлеките 3 фактора или больше либо выберите другое вращение.
• Бифакторное вращение при АГК — оба вращения моделируют общий фактор наряду со специфической дисперсией переменных, а у компонент такой дисперсии нет. На шаге 1 оба варианта при АГК недоступны, и сам анализ проверяет то же правило. Перейдите на метод РФА или выберите другое вращение.
• Сверхслучай Хейвуда — только РФА: общность больше 1.0, то есть модель приписывает переменной больше дисперсии, чем у неё есть (случай Хейвуда). Карточка всё равно выводится, чтобы было видно, о какой переменной речь. Попробуйте меньше факторов или другой метод извлечения.

Предупреждения уточняют решение, которое остаётся в силе:

• Матрица сглажена — корреляционная матрица не была положительно определённой и сглажена перед извлечением (или ещё при построении полихорической либо смешанной матрицы), так что все числа на карточке относятся к сглаженной матрице. Предупреждение выводится и рядом с ошибкой, если извлечение всё же не удалось.
• Случай Хейвуда — только РФА: общность 0.999 и выше, то есть модель приписывает факторам почти всю дисперсию переменной. Обычно причина — слишком много факторов или почти дублирующая переменная (случай Хейвуда). Методы, которые psych подгоняет оптимизацией с ограничениями (минимальный остаток, максимальное правдоподобие, три метода наименьших квадратов и взвешенный χ² по минимальному объёму выборки), не опускают уникальность ниже 0.005, поэтому общность у них останавливается на 0.995. Признаком тогда служит уникальность на этой нижней границе, о чём и сообщает предупреждение.
• Извлечение не сошлось — итеративное извлечение исчерпало итерации по общностям, не дойдя до устойчивого решения, поэтому общности и всё, что из них выводится (нагрузки, индексы соответствия, оценки), может быть неустойчивым. Попробуйте другой метод извлечения или меньше факторов.
• Повторное извлечение с SMC = FALSE — извлечение не удалось с начальными значениями по умолчанию (квадратами множественных корреляций) и было повторено с единичными общностями. Показано решение повторного запуска: это корректная подгонка, но с другими начальными условиями, и строго сравнивать её с другими методами нельзя. Повторно запускаются только Факторизация главных осей и Альфа-факторизация, здесь и в сравнении методов извлечения.
• Вращение не сошлось — вращение исчерпало допустимое число итераций, поэтому матрица паттерна — лучший результат из испробованных начальных точек, а не оптимум критерия. Извлечения это не касается: общности и индексы соответствия остаются в силе. Попробуйте другое вращение. Чаще всего так бывает с бифакторным семейством и Симплимакс.
• Вырожденные факторы — на один или несколько извлечённых факторов почти не приходится общей дисперсии: решение сохранило фактор, которого данные не поддерживают. Извлеките меньше факторов.
• Насыщенная модель (df = 0) — модель в точности воспроизводит корреляционную матрицу, поэтому её соответствие данным нельзя проверить. Индексы соответствия выводятся без оценки (насыщенная модель). Чтобы модель можно было проверить, извлеките меньше факторов.
• Избыточно параметризованная модель (df < 0) — параметров больше, чем определяет корреляционная матрица, поэтому решение не идентифицировано. Извлеките меньше факторов.
• Высокий SMC — у переменной квадрат множественной корреляции с остальными выше 0.99, и случай Хейвуда почти неизбежен. Об этом предупреждает и карточка пригодности, где исправить набор переменных проще всего.
• Очень высокие корреляции — пары переменных с |r| выше 0.9, каждая вместе со своим r. Такие пары указывают на возможную мультиколлинеарность.
• Детерминант близок к нулю — детерминант ниже 0.00001, и это подтверждает одна из проверок, не зависящих от числа переменных. Правило то же, что в таблице пригодности. Предупреждение показывает, что избыточность есть, но не называет переменных, поэтому, если сработала и описанная ниже проверка ранга, начните с неё. Подумайте, не исключить ли избыточные переменные или не объединить ли их.
• Избыточные переменные — матрица неполного ранга: хотя бы одна переменная — точная линейная комбинация других, и каждая такая переменная названа вместе с теми, из которых она воспроизводится (Total ← Item A, Item B, Item C). Только эта диагностика указывает, какую переменную исключить, и только она видит то, чего не замечает ни одна попарная проверка (ранг матрицы).
• Смешанные корреляции заменены корреляциями Пирсона — выбран тип Смешанная (полихорическая/полисериальная), но порядковому оценщику не досталось ни одной переменной, поэтому вычислены обычные корреляции Пирсона (Тип корреляции).
• Порядковые переменные со слишком многими значениями — переменные порядкового типа с более чем 8 различными значениями коррелированы как непрерывные. Сообщение их называет, чтобы частично пирсоновскую матрицу не приняли за полностью полихорическую.
• Нет явного общего фактора — бифакторные вращения: ни один столбец не нагружается достаточно широко и с одинаковым знаком, чтобы считаться общим фактором, поэтому столбцы остаются F1…Fn. Определите общий фактор по нагрузкам сами.
• Матрицы антиобраза не вычислены — таблицы антиобраза вычислить не удалось, и их нет на карточке. Остальное решение в силе.
• Антиобраз не выводится (сингулярная матрица) — у корреляционной матрицы нет обратной, из которой получаются частные корреляции и MSA, поэтому таблицы опускаются, а не заполняются результатом псевдообращения. Это то же правило, что на шаге 2.
• Факторные оценки не вычислены — оценки вычислить не удалось, и их раздела нет. Так обычно бывает с методами Бартлетт и Андерсон — Рубин при коллинеарных нагрузках, и тогда стоит перейти на Регрессия. Если не удалась и регрессия, сообщение отсылает к диагностике мультиколлинеарности, поскольку этот метод обращает корреляционную матрицу.
• Метод расчёта оценок заменён — при расчёте оценок psych перешёл на регрессионные веса по исправленной матрице или на псевдообратную матрицу для сингулярной. Оценки, коэффициенты и детерминированность тогда получены не выбранным методом или только приближают его, и сообщение уточняет, какой из двух случаев произошёл.
• Не удалось построить бутстрэп-интервалы для нагрузок — интервалы не вычислены, нагрузки в силе (Доверительные интервалы для нагрузок).
• Малый объём выборки — меньше 50 наблюдений, а для факторного анализа обычно нужно 100 и больше.
• Низкое отношение наблюдений к переменным — это примечание, а не предупреждение: меньше 5 наблюдений на переменную, и решение может быть неустойчивым (отношение наблюдений к переменным).

На карточке Шмида — Леймана, если преобразование выполнялось или было пропущено:

• Шмид — Лейман при 1 факторе — преобразование пропускается: иерархическая омега для одного фактора не имеет смысла. При 1 факторе флажок скрыт, так что это лишь страховка.
• Шмид — Лейман при 2 факторах — омега приравнивает нагрузки двух групповых факторов на общий фактор, а для полной идентификации нужны три фактора. Столбец g на уровне пунктов при этом по-прежнему меняется, так что по нему этого ограничения не видно.
• Шмид — Лейман: инвертированные пункты — перед оценкой коэффициентов функция omega() поменяла направление названных пунктов с отрицательными нагрузками. Так получают и публикуемые значения омега. Показанные нагрузки сохраняют исходное направление (Преобразование Шмида — Леймана).
• Шмид — Лейман не сошёлся — подгонка omega() исчерпала итерации, поэтому иерархические нагрузки, коэффициенты омега и декомпозиция дисперсии могут быть неустойчивыми. Основное решение — отдельная подгонка, и с ним всё может быть в порядке.
• Шмид — Лейман: сверхслучай Хейвуда и Шмид — Лейман: случай Хейвуда — общность выше 1.0 или около 1.0 в иерархическом решении, с той же градацией, что и в основном. Коэффициенты омега и декомпозиция дисперсии тогда ненадёжны, основное решение это не затрагивает.
• Нормализация Кайзера не применена к ПШЛ — нормализация запрошена, но применяется только к основному решению, поэтому две матрицы нагрузок масштабированы по-разному (Преобразование Шмида — Леймана).
• Шмид — Лейман нормализован, а основное решение нет — обратный случай, и именно он возникает при настройках по умолчанию: при Промакс и Кластер преобразование всегда нормализует нагрузки.
• Шмид — Лейман выполнен другим методом извлечения — запрошен Невзвешенный МНК, Альфа-факторизация или Взвешенный χ² по минимальному объёму выборки, которые omega() выполнить не может, поэтому иерархия построена методом минимального остатка. Это указано в заголовке карточки.
• Шмид — Лейман выполнен другим вращением — собственное косоугольное вращение omega() не удалось, и функция заменила его на Промакс. Сообщение называет оба вращения, а заголовок карточки — то, которое было выполнено.
• Факторные оценки Шмида — Леймана не вычислены — иерархические оценки вычислить не удалось, хотя само преобразование в силе. Обычно это случается с методами Бартлетт и Андерсон — Рубин, поскольку столбцы общего и групповых факторов внутри каждого блока пунктов почти коллинеарны по построению. Перейдите на Регрессия.
• Не удалось построить бутстрэп-интервалы для омеги — интервалы для коэффициентов омега не вычислены, точечные оценки в силе.

Что такое случай Хейвуда? Общность, равная 1 или больше: модель объясняет в переменной больше, чем в ней есть. Обычно это значит, что факторов слишком много, одна переменная почти копирует другую или на фактор приходится слишком мало пунктов (случай Хейвуда). Проверка выполняется только в РФА: у компонентного решения нет уникальной дисперсии, которую можно сжать до нуля, а при максимальном числе компонент общность 1 — правильный ответ.

Индексы соответствия модели #

Индексы соответствия модели. Насколько точно решение воспроизводит корреляционную матрицу, по строке на индекс: критерий точного соответствия, четыре оцениваемых индекса, две другие сводки остатков из psych и число больших остатков, четыре информационных критерия, две доли соответствия и значение целевой функции (как читать их вместе, объяснено в разделе индекс соответствия). При включённой настройке интерпретации RMSEA, CFI, TLI, SRMR и число остатков получают оценку по вашим порогам соответствия. Если у модели не осталось степеней свободы, вместо оценки стоит Не интерпретируется (df ≤ 0). При любом методе извлечения, кроме максимального правдоподобия, примечание под таблицей предупреждает, что строки на основе χ² приближённые, а их оценки консервативны. Насколько именно, показывает сравнение методов извлечения. При АГК раздел называется Сводка соответствия по остаткам и содержит только строки остатков (SRMR без оценки, среднеквадратический остаток (psych), остатки > 0.05 и две доли соответствия), а примечание объясняет почему.

• Критерий хи-квадрат — χ²(df) и p-значение для нулевой гипотезы о том, что модель в точности воспроизводит корреляционную матрицу (критерий хи-квадрат соответствия модели). Хороший результат здесь — высокое p, но на большой выборке отвергается почти любая модель, поэтому ориентируйтесь на индексы ниже, а не на этот вывод. При df = 0 статистика выводится без p-значения.
• RMSEA — рассогласование на одну степень свободы с 90%-ным интервалом в скобках, какой бы Уровень доверия ни был задан (RMSEA). Вывод ставится по точечному значению, по умолчанию так: отличное соответствие ≤ 0.05, хорошее ≤ 0.08, посредственное ≤ 0.10, плохое — выше. При df = 0 — Н/Д.
• CFI — улучшение по сравнению с базовой моделью некоррелированных переменных, от 0 до 1 (CFI). По умолчанию отличное соответствие ≥ 0.95, приемлемое ≥ 0.90, посредственное ≥ 0.85, плохое — ниже.
• TLI — CFI со штрафом за свободные параметры, поэтому лишние факторы его не завышают. При переподгонке относительно df может превышать 1 (TLI). Границы те же, что у CFI, при df = 0 — Н/Д.
• SRMR — средняя остаточная корреляция, стандартизованная общепринятым способом, чтобы к ней были применимы опубликованные пороги (SRMR). Границы те же, что у RMSEA. При АГК выводится без оценки.
• Среднеквадратический остаток (psych) — собственный среднеквадратический остаток psych: те же остатки с другим делителем, поэтому значение немного выше SRMR. Не оценивается.
• Среднеквадратический остаток с поправкой на df — та же сводка, делённая на число степеней свободы, а не на число остатков. Не оценивается.
• Остатки > 0.05 — сколько внедиагональных остаточных корреляций превышают 0.05 по модулю, числом и долей. По правилу Филда (Field, 2018), если таких больше половины, вывод — Слишком много больших остатков, иначе — Мало больших остатков. При df ≤ 0 вывод не ставится, а при АГК, где степеней свободы нет, сохраняется: это единственная оцениваемая строка компонентного решения.
• BIC — байесовский информационный критерий по χ² правдоподобия. Чем меньше, тем лучше, но сравнивать можно только модели на одних и тех же данных (BIC).
• EBIC — эмпирический BIC, рассчитанный по остаточным корреляциям решения, а не по правдоподобию (EBIC). Его минимум по числам факторов может прийтись не на ту строку, что у BIC, и таблица сравнения моделей выделяет оба.
• SABIC — BIC с поправкой на объём выборки, с меньшим штрафом за каждый параметр.
• ESABIC — EBIC с той же поправкой.
• Соответствие (вся корреляционная матрица) — доля общей суммы квадратов матрицы, которую воспроизводит решение (fit из psych), включая диагональ. Поэтому она высока почти у любого решения и не является объяснённой дисперсией, в отличие от накопленной дисперсии. Обе доли следует рассматривать вместе с остаточными корреляциями.
• Внедиагональное соответствие — та же доля, но только по корреляциям. Из двух долей она строже, и смотреть стоит именно на неё. При АГК и РФА она вычисляется одинаково, так что значения сопоставимы.
• Целевая функция — значение функции расхождения, которую минимизировало извлечение, для справки.

Почему насыщенная модель выглядит идеальной? При df = 0 у модели столько же параметров, сколько информации в матрице, и она воспроизводит матрицу по построению. Её идеальные индексы — арифметика, а не свидетельство хорошего соответствия (насыщенная модель). Оценки здесь не выводятся, RMSEA, TLI и информационные критерии показывают Н/Д, а граница Ледермана — ровно то число факторов, при котором df становится равным 0.

Хи-квадрат значим — модель плоха? Одного этого признака мало: при нескольких сотнях наблюдений критерий точного соответствия отвергает модель даже при ничтожном рассогласовании (критерий хи-квадрат соответствия модели). Смотрите на RMSEA, CFI, TLI и SRMR вместе.

Качество решения #

Качество решения. Три сводных показателя выполненного решения, те же, что таблица сравнения моделей приводит для каждого кандидата (средняя общность там стоит в столбце Накопленный %). По ним видно, оправдало ли выбранное число факторов ожидания. Таблица оценивает копию каждого решения, повёрнутую варимаксом, а здесь числа относятся к выбранному вами вращению, поэтому при косоугольном вращении они немного отличаются (сложность).

• Средняя общность (h²) — средняя доля дисперсии переменной, объяснённая факторами (общность). Ниже 0.40 факторы объясняют лишь малую часть дисперсии отдельных переменных.
• Средняя сложность — сложность Хоффмана, усреднённая по переменным: 1.0, если каждая переменная нагружается ровно на один фактор, и больше при перекрёстных нагрузках.
• Переменные без выраженной нагрузки — у скольких переменных ни одна нагрузка ни на один фактор не достигает 0.3 по модулю (выраженная нагрузка). В идеале их 0. Порог 0.3 — общепринятая граница выраженной нагрузки, и он фиксирован, что бы ни стояло в поле порога отображения нагрузок. Первый порог определяет, нашла ли переменная свой фактор, второй — что показывать в таблице.

Объяснённая дисперсия #

Объяснённая дисперсия. По строке на фактор или компоненту: сумма квадратов нагрузок и доля дисперсии относительно двух знаменателей, всей дисперсии переменных и дисперсии, объяснённой решением (объяснённая дисперсия). Легенда повторяет оба знаменателя, а при косоугольном вращении добавляет строку о том, что учитывает столбец. В бифакторном решении и в решении Шмида — Леймана строки подписаны так же, как столбцы таблицы нагрузок: g для общего фактора, остальные перенумерованы, так что две таблицы никогда не называют один фактор по-разному.

• Сумма квадратов нагрузок — сумма квадратов нагрузок на фактор, то есть его сила в единицах одной переменной (собственное значение). При косоугольном вращении столбец учитывает дисперсию, объяснённую фактором, вместе с той, которую он делит с коррелирующими с ним факторами, так что столбцы не исключают друг друга. Тем не менее в сумме они дают всю дисперсию, объяснённую решением.
• Доля дисперсии — доля фактора в общей дисперсии всех переменных.
• Накопленная дисперсия — нарастающий итог предыдущего столбца. Последняя строка — итог решения, при РФА равный также его средней общности.
• Доля объяснённой дисперсии — доля фактора в дисперсии, которую решение действительно объясняет.
• Накопленная объяснённая дисперсия — нарастающий итог этой доли, в последней строке по построению 100%. При РФА разрыв между двумя парами столбцов вызван самой моделью общих факторов: при общностях около 0.4 хорошее решение доходит здесь до 100%, а в столбце Накопленная дисперсия остаётся гораздо ниже 50%, поскольку целью всегда была только общая дисперсия.

Сколько дисперсии достаточно? В АГК обычный ориентир — 60–70% накопленной дисперсии. В РФА важнее, поддаются ли факторы интерпретации, и для пунктов опросника обычны 40–60% (объяснённая дисперсия). Не добавляйте факторы только ради того, чтобы увеличить это число.

Матрица нагрузок #

Факторные нагрузки (матрица паттерна). По строке на переменную и по столбцу на фактор, в каждой ячейке нагрузка переменной на фактор (факторная нагрузка). Заголовок называет, что именно стоит в ячейках. При косоугольном вращении это коэффициенты паттерна, заголовок — Факторные нагрузки (матрица паттерна), а ниже следует структурная матрица. При ортогональном вращении обе матрицы совпадают, и заголовок — Факторные нагрузки. При АГК в обоих случаях заголовок — Нагрузки компонент. После вращения столбцы упорядочены по убыванию суммы квадратов нагрузок, поэтому F1 (или PC1) — самый сильный фактор вращённого решения, а не извлечённый первым. Знак каждого столбца выбран так, чтобы сумма нагрузок была положительной, и фактор, все пункты которого сформулированы в сторону неблагополучия, может оказаться фактором «благополучия»: прежде чем давать фактору название, сверьте знаки с формулировками пунктов. Порядок и знаки сохраняются в корреляциях факторов, структурной матрице, оценках и на диаграмме путей, так что все части карточки согласованы. При бифакторном вращении столбец, который нагружается широко и с одинаковым знаком, подписан g, а остальные перенумерованы F1, F2… Если такого столбца нет, все столбцы остаются пронумерованными, и об этом сообщает предупреждение Нет явного общего фактора.

Элементы управления над таблицей определяют, что в ней показано. Чтобы применить их, нажмите Обновить таблицу:

• Порог отсечения — нагрузки меньше этого значения по модулю не показываются. Начальное значение берётся из поля Порог отображения нагрузок на панели (по умолчанию 0.3). Сравнивается значение в том виде, в каком оно выведено, так что нагрузка, которая при округлении достигает порога, показывается. Если на экране есть диаграмма путей, она тоже перерисовывается с новым порогом, и таблица с диаграммой всегда скрывают одни и те же нагрузки.
• Порог выделения — нагрузки с таким или большим значением по модулю выделяются полужирным (по умолчанию 0.6, обычная граница сильной нагрузки). Как и порог отсечения, сравнивается с выведенным значением.
• Сортировать по — порядок строк: Исходный порядок или Наибольшая нагрузка.
• Исходный порядок — переменные идут в том порядке, в каком были выбраны.
• Наибольшая нагрузка — переменные сгруппированы по фактору, на который каждая нагружается сильнее всего, а внутри группы идут от самой сильной нагрузки. В таком же порядке их располагает диаграмма путей. В бифакторном решении g при группировке не учитывается: на него нагружаются почти все переменные, и сортировка по нему собрала бы их в одну группу. Вместо этого переменные группируются по самому сильному групповому фактору.
• Обновить таблицу — применяет все три параметра. Оба порога ограничены диапазоном 0–1, а пустое поле считается нулём.
• Общность — последний столбец при включённом параметре Общности: доля дисперсии переменной, объяснённая факторами (общность). Значения ниже 0.40 выделены жёлтым, как указано в легенде. Если общность не удалось вычислить, в ячейке красным стоит Н/Д: значение неизвестно, а не плохо.

Легенда под таблицей повторяет оба действующих порога, а если включены интервалы (см. ниже), называет вид интервала и его уровень.

Как читать нагрузки. Нагрузка показывает, какую часть переменной объясняет фактор. Ниже примерно 0.3 переменная почти не относится к фактору, от 0.6 она служит сильным индикатором, а умеренная нагрузка сразу на два фактора — это перекрёстная нагрузка, неоднозначная и дающая повод исключить переменную (факторная нагрузка, перекрёстная нагрузка).

Доверительные интервалы для нагрузок #

Флажок Доверительные интервалы (бутстрэп) для нагрузок, вложенный в Матрица нагрузок, выводит под каждой нагрузкой в скобках бутстрэп-интервал с коррекцией смещения и добавляет в легенду строку с видом интервала и его уровнем. Наблюдения выбираются с возвращением столько раз, сколько задано в настройке Повторы бутстрэпа. На каждой бутстрэп-выборке всё решение (корреляционная матрица, извлечение, вращение и нормализация Кайзера) подгоняется заново, сопоставляется с выведенным решением фактор за фактором и приводится к его знакам, и только после этого вычисляются границы. Ширину задаёт Уровень доверия, а Зерно бутстрэпа делает границы воспроизводимыми (процентильный бутстрэп с коррекцией смещения). Повторная подгонка на каждом повторе идёт медленно, а с типом Смешанная (полихорическая/полисериальная), где на каждой бутстрэп-выборке заново оценивается и матрица, расчёт может занять несколько минут, о чём во время расчёта предупреждает примечание. Для границ нужно не меньше 50 пригодных бутстрэп-выборок. Если их меньше, границы не строятся, а предупреждение объясняет причину и отсылает к настройке Повторы бутстрэпа, если в ней самой задано меньше 50. Если часть бутстрэп-выборок потеряна, но осталось не меньше 50, примечание сообщает, что интервалы построены только по ним.

Что показывает интервал. Главное — накрывает ли он ноль. Перекрёстная нагрузка с интервалом, накрывающим ноль, не доказывает, что перекрёстная нагрузка есть, а основная нагрузка с интервалом, опускающимся до Порога отсечения, закрепляет пункт за фактором не так надёжно, как кажется (доверительный интервал). Простую структуру, которая выдерживает эту проверку, стоит включать в отчёт.

Общности #

Общности. Если включён параметр Матрица нагрузок, общности выводятся её последним столбцом, и этот раздел не показывается. Если матрица нагрузок выключена, общности получают отдельную таблицу по строке на переменную, так что флажок действует при любом положении флажка нагрузок (общности). Легенда повторяет правило жёлтой подсветки.

• Общность (h²) — доля дисперсии переменной, объяснённая факторами. Значения ниже 0.40 выделены жёлтым, а невычисленные показаны красным Н/Д, точно как в таблице нагрузок (общность).
• Уникальность (u²) — дополнительная доля 1 − h², которую факторы оставляют необъяснённой (уникальность). При АГК столбец называется Необъяснённая дисперсия: в компонентной модели нет параметра уникальной дисперсии, поэтому здесь это доля переменной, которую не воспроизводят оставленные компоненты, а не оценённая уникальность.

Структурная матрица (только косоугольные вращения) #

Структурная матрица. При косоугольном вращении это вторая таблица под нагрузками: корреляции нулевого порядка между переменными и факторами, то есть нагрузки паттерна, умноженные на корреляции факторов (структурная матрица). У неё свой набор элементов управления, как у таблицы нагрузок, с тем же начальным порогом отсечения, и та же легенда о полужирных и пустых ячейках. Её порог на диаграмму путей не влияет: диаграмма следует только за таблицей нагрузок.

Паттерн и структура. Матрица паттерна показывает собственную связь переменной с фактором при фиксированных остальных факторах, а структурная матрица — полную корреляцию, включая вклад корреляций факторов. Поэтому её значения больше, и разница растёт вместе с корреляцией факторов (матрица паттерна). В стандартном отчёте по РФА приводят обе.

Диаграмма путей #

Путевая диаграмма факторов. Изображение структуры: факторы — эллипсы слева, переменные — прямоугольники в следующем столбце, нагрузки — стрелки между ними, а при РФА справа ещё и кружок ошибки для каждой переменной (диаграмма путей). При АГК заголовок — Путевая диаграмма компонент, стрелки идут от переменных к компонентам, а ошибок нет, поскольку компонента — взвешенная сумма своих переменных, а не их причина. Рисуются только нагрузки выше порога отсечения таблицы нагрузок: измените порог там, нажмите Обновить таблицу, и диаграмма перерисуется. Исключение — самая сильная нагрузка каждой переменной на групповой фактор. Она рисуется всегда, а если ниже порога, то бледной пунктирной линией, чтобы ни одна переменная не осталась на диаграмме без связи. На g это исключение не распространяется. Переменные сгруппированы по фактору с наибольшей нагрузкой, в том же порядке, что при сортировке таблицы по параметру Наибольшая нагрузка.

• Факторы — синие эллипсы слева: PC1, PC2… при АГК и F1, F2… при РФА. Общий фактор бифакторного решения — оранжевый g на противоположной стороне (см. ниже).
• Переменные — серые прямоугольники в следующем столбце. Их ширина подбирается под самое длинное имя в решении, так что обычные имена столбцов длиной примерно до 35 символов видны целиком, в том числе в экспортированном SVG или PNG, где обрезанное имя не восстановить подсказкой. Более длинное имя обрезается, а полный текст появляется при наведении.
• Нагрузки — стрелки от фактора к переменной (при АГК — от переменной к компоненте), синие для положительной нагрузки и красные для отрицательной. Это та же расходящаяся пара цветов, которой графики корреляционного анализа показывают знак связи. Пара выбрана вместо красного и зелёного, чтобы знак различали и люди с нарушением красно-зелёного цветовосприятия. Толщина пропорциональна нагрузке: основная нагрузка переменной — прямая линия, перекрёстная — изогнутая, а веер общего фактора в бифакторном решении — бледный пунктир. Значение подписано рядом с каждой линией её же цветом, затемнённым для читаемости мелкого текста, чтобы подпись можно было связать с линией там, где веера пересекаются. Если на загромождённой диаграмме подписи мешают, снимите флажок Показать значения на диаграмме. Значение линии в любом случае видно при наведении.
• Ошибки — только РФА: маленькие оранжевые кружки справа, по одному на переменную, с её уникальностью u² = 1 − h², то есть долей дисперсии, которую факторы не объясняют. Значение видно при наведении на кружок.
• Корреляции факторов — при косоугольном вращении изогнутые двусторонние стрелки между факторами слева, в той же сине-красной шкале знака, что и нагрузки, с подписью Корреляция факторов (Корреляция компонент при АГК) в легенде.

Легенда под диаграммой называет все использованные стили линий и только их: Нагрузки: (при косоугольном вращении Нагрузки (паттерн):, поскольку стрелки изображают коэффициенты паттерна, а в экспортированном SVG нет заголовка таблицы, который бы это пояснил) с образцами Положительная и Отрицательная и действующим порогом (|λ| ≥ 0.3); Основная нагрузка ниже порога, только если бледная пунктирная линия действительно нарисована; Нагрузки общего фактора, если нарисовано бифакторное или иерархическое решение; Остаточная дисперсия (u²), если нарисованы кружки ошибок; Стрелки идут от переменных к компонентам только при АГК.

Бифакторное вращение или преобразование Шмида — Леймана выносят общий фактор на другую сторону: на g нагружаются все переменные, поэтому он стоит справа от столбца переменных, а групповые факторы остаются слева, и два веера подходят к переменным с противоположных сторон. Кружок ошибки каждой переменной при этом переносится на короткий отвод от её правого верхнего угла. Обычная РФА, АГК и бифакторное решение, общий фактор которого не удалось определить, сохраняют обычные столбцы: факторы → переменные → ошибки.

Размер диаграммы можно менять, а кнопки рядом экспортируют её в SVG, PNG или JPG (изменение размера и экспорт графиков). Имена файлов зависят от вида диаграммы (factor_path_diagram, component_path_diagram, bifactor_path_diagram, schmid_leiman_path_diagram), так что две диаграммы одного расчёта не сохранятся в одноимённые файлы.

Корреляции факторов/компонент (только косоугольные вращения) #

Корреляции факторов. Симметричная матрица корреляций между факторами Φ при косоугольном вращении (при АГК — Корреляции компонент). Строки и столбцы подписаны так же, как столбцы таблицы нагрузок, поэтому общий фактор бифакторного решения и здесь называется g. На диагонали приглушённым шрифтом стоит 1 с той же точностью и тем же десятичным разделителем, что и в остальных ячейках (корреляции факторов).

Высокие корреляции факторов. Если два фактора коррелируют сильнее 0.70, они, возможно, недостаточно различаются, чтобы считаться отдельными. Попробуйте извлечь на один фактор меньше или выполнить преобразование Шмида — Леймана, чтобы отделить общую дисперсию от специфической (корреляция факторов).

Матрицы антиобраза #

• Матрица корреляций антиобраза — частные корреляции с обратным знаком между каждой парой переменных при фиксированных остальных, на диагонали MSA каждой переменной (корреляция антиобраза). Диагональ выделена полужирным и оценивается по той же шестиуровневой шкале Кайзера, что и общий KMO: зелёный цвет от 0.70 (Средняя и выше), жёлтый от 0.50 (Посредственная, Плохая), красный ниже (Неприемлемая), и легенда повторяет эти уровни. Внедиагональные элементы должны быть близки к нулю и оцениваются по модулю по вашей настройке Шкала силы корреляции: жёлтый от уровня Умеренная (по умолчанию 0.5), красный от уровня Сильная (по умолчанию 0.7). Так проблемные пары видны без просмотра всей сетки, а худшие из них шаг 2 перечисляет отдельно ещё до выбора числа факторов.
• Матрица ковариаций антиобраза — та же матрица в ковариационной форме, без цветовой шкалы MSA и со своей легендой, объясняющей два вида ячеек (ковариация антиобраза). На диагонали — дисперсия антиобраза каждой переменной, 1 − R², то есть доля, которую не предсказывают остальные переменные. Малое значение — хорошо: факторизовать стоит именно переменную, большая часть дисперсии которой общая с остальными. Вне диагонали — то, что остаётся от связи каждой пары после исключения всех остальных переменных, и эти значения должны быть близки к нулю. Стандартизация этой матрицы даёт матрицу корреляций над ней.

Обе матрицы выводятся из исходной корреляционной матрицы, поэтому, если она не положительно определена (что часто бывает со смешанными корреляциями), часть элементов, в том числе MSA на диагонали, вычислить нельзя. Они показаны красным Н/Д, а примечание объясняет причину. На сингулярной матрице обе таблицы не выводятся, и вместо результата псевдообращения стоит предупреждение Антиобраз не выводится (сингулярная матрица). Это то же правило, что для таблицы MSA по переменным на шаге 2. Исправьте то, что называет оповещение о ранге, и обе таблицы вернутся.

Матрица остаточных корреляций #

Матрица остаточных корреляций. При включённом параметре Остаточные корреляции это попарная расшифровка строки Остатки > 0.05: для каждой пары переменных наблюдаемая корреляция минус воспроизведённая решением (остаточные корреляции). Матрица выводится нижним треугольником с пустой диагональю. Ячейки больше 0.05 по модулю (по значению в том виде, в каком оно выведено) подсвечены, о чём сообщает легенда.

Проверка, не зависящая от индексов. Индексы соответствия сводят остатки в одно число, а эта таблица показывает, где они находятся. Пара, плохо воспроизведённая при приемлемом SRMR, обычно указывает на методический эффект, пару пунктов с обратной формулировкой или измерение, которое выбранное число факторов упустило. Подсвеченные ячейки — пары, которые нужно объяснить, а строка Остатки > 0.05 — общий вывод (остаточные корреляции).

Факторные/компонентные оценки #

Факторные оценки. Первые 10 наблюдений (или все, если их меньше) с оценкой по каждому фактору, при АГК — Оценки компонент. Примечание называет число наблюдений с оценками и метод, который действительно выполнялся. При одном факторе это Регрессия, что бы ни было выбрано в списке, поскольку это ограничение соблюдает сам анализ, а не только недоступное поле (факторные оценки). В бифакторном решении столбцы подписаны так же, как в таблице нагрузок (g и перенумерованные групповые факторы), и строка детерминированности, матрица коэффициентов и добавленные переменные используют те же имена, так что нигде на карточке один фактор не называется двумя именами. Добавьте оценки в данные, чтобы использовать их в дальнейшем анализе: как предикторы в регрессии, для кластеризации или при сравнении групп.

• Наблюдение — номер строки в исходном наборе данных, а не в показанной таблице и не в отфильтрованном подмножестве, если действует фильтр наблюдений. Пропуски в нумерации (1, 3, 4, 5, 6, 11…) сразу показывают, что наблюдения 2 и 7–10 исключены из-за пропущенных данных.
• Детерминированность оценок — строка под таблицей оценок с ρ для каждого фактора, то есть с корреляцией между оценками, рассчитанными модулем, и истинными значениями фактора. ρ вычисляется по весам выбранного вами метода, поэтому характеризует оценки в таблице, а не решение вообще (детерминированность оценок). Предпочтительный уровень ρ ≥ 0.90 выделен зелёным, общепринятый минимум ≥ 0.80 — жёлтым, всё, что ниже, — красным, как и значение вне диапазона 0–1, которое означает вычислительный сбой, а не оценку. Переключение между методами Регрессия, Бартлетт, Андерсон — Рубин и Тен Берге меняет ρ, и при косоугольном вращении разница больше. Строка выводится и при АГК. Там Регрессия и Тен Берге дают 1.000 для каждой компоненты, поскольку компонента — точная взвешенная сумма своих переменных и веса, точно её восстанавливающие, существуют. Бартлетт и Андерсон — Рубин дают чуть меньше, поскольку навязывают свойство, которого у компоненты нет. Это стоит учесть до сохранения столбцов.
• Добавить оценки в набор данных — добавляет оценки как новые переменные с теми же именами, что у столбцов карточки: F1, F2… (PC1, PC2… при АГК, g и перенумерованные групповые факторы в бифакторном решении). Для всех методов, кроме регрессионного, к имени добавляется суффикс метода (F1_Bartlett, F1_Anderson, F1_tenBerge). Если переменные с такими именами уже есть, приложение попросит подтвердить перезапись. Оценки записываются в те строки, по которым они рассчитаны, а в исключённых анализом наблюдениях стоит NA, даже если построчное удаление сократило рабочий набор. Новая переменная не добавляется в ваш выбор: столбец оценок равен NA ровно в тех наблюдениях, которые исключил анализ, и при автоматическом выборе построчное удаление унаследовало бы эти исключения и незаметно сократило бы выборку во всех последующих расчётах. Выберите переменную в окне выбора переменных, как любую другую, а если опробованный метод оценок вам не подошёл, удалите её там же на вкладке Управление. Кнопка запоминает набор данных, по которому рассчитаны оценки, то есть его размеры и то, какой это был загруженный файл. Если вы отфильтруете наблюдения, преобразуете переменные или перезагрузите данные и вернётесь к старой карточке, добавление будет отклонено с просьбой выполнить анализ заново. Другой файл с тем же числом строк и столбцов — это другой набор данных. Записать оценки в строки, которых они больше не описывают, можно было бы совершенно незаметно, и проверка исключает именно эту ошибку.

Почему важна детерминированность. Факторные оценки — это оценки, а не сами латентные значения. При ρ около 1.0 они почти взаимозаменяемы с фактором, но при низком ρ два наблюдения с очень разными истинными значениями могут получить близкие оценки, и всё, что построено на сохранённых столбцах, унаследует эту размытость (детерминированность оценок, оценивание факторных значений).

Коэффициенты факторных/компонентных оценок #

Коэффициенты факторных оценок. Сразу под таблицей оценок, по тому же флажку Оценки факторов/компонент, выводится матрица коэффициентов, по которой построены оценки (в SPSS это таблица Factor Score Coefficient Matrix), при АГК — Коэффициенты оценок компонент. В ней по строке на переменную и по столбцу на фактор, а столбцы подписаны так же, как в таблице нагрузок (коэффициенты оценок). Каждый столбец — это рецепт: стандартизуйте все переменные (среднее 0, стандартное отклонение 1), умножьте каждую на её коэффициент в этом столбце и сложите, и получится оценка наблюдения из таблицы выше. Поэтому раздел служит записью, по которой оценки можно воспроизвести: читатель может пересчитать их или применить вашу схему к новой выборке без повторного извлечения.

Коэффициенты — не нагрузки. Нагрузка связывает фактор с переменной, а коэффициент действует в обратном направлении: это вес переменной, когда оценка вычисляется из переменных. Он зависит от метода оценок и от того, насколько переменные перекрываются, и переменная с большой нагрузкой может получить скромный коэффициент, если её вклад уже покрывает другая переменная (коэффициенты оценок). Нагрузки приводите, чтобы описать структуру, а коэффициенты — чтобы показать, как получены оценки.

Корреляции факторных оценок #

Корреляции факторных оценок. Выводятся под коэффициентами, по тому же флажку, если извлечено хотя бы 2 фактора или компоненты, при любом вращении и методе. Это симметричная матрица корреляций между столбцами оценок в том виде, в каком они рассчитаны, а не корреляции факторов модели. На диагонали приглушённым шрифтом стоит 1, а примечание под матрицей объясняет, чего ждать от каждого метода (корреляции оценок). При АГК заголовок — Корреляции компонентных оценок, и примечание сформулировано для компонент. Числа относятся к самим сохраняемым столбцам. При типе Пирсон они совпадают с тем, что следует из модели, а при Спирмен или Смешанная могут отличаться, поскольку веса берутся из латентной матрицы, а оценки строятся по исходным стандартизованным переменным. Анализировать дальше вы будете именно сохранённые столбцы.

По этой матрице удобно проверить выбранный метод оценок:

• При методе Андерсон — Рубин внедиагональные элементы равны 0.00 по построению, и любое другое значение указывает на вычислительную проблему.
• При методе Тен Берге матрица поячеечно совпадает с корреляциями факторов.
• При методах Регрессия и Бартлетт оценки коррелируют, но не воспроизводят ни нули, ни корреляции факторов: при косоугольном вращении их корреляции примерно следуют корреляциям факторов, а при ортогональном оценки всё равно немного коррелируют, хотя факторы некоррелированы.
• Расхождение между этой матрицей и корреляциями факторов нормально, и полезна именно его величина: чем оно больше, тем меньше сохранённые оценки ведут себя как латентные переменные, которые они заменяют.

При АГК картина другая: регрессионные оценки и оценки Тен Берге в точности воспроизводят корреляции компонент, оценки Бартлетта не делают ни того, ни другого, а метод Андерсона — Рубина обнуляет корреляции при ненулевой Φ. Здесь и видно противоречие, о котором предупреждает подсказка под списком методов оценок.

Почему оценки не воспроизводят корреляции модели. Модель общих факторов не определяет оценки однозначно: одному решению соответствует бесконечно много наборов оценок. Поэтому каждый метод выбирает один набор по своему правилу, выигрывая в одном свойстве ценой другого, и корреляции здесь — свойство полученных оценок, а не факторов (оценивание факторных значений). Именно поэтому модуль выводит их рядом с детерминированностью, а не предлагает принять их на веру.

Преобразование Шмида — Леймана #

Флажок Преобразование Шмида — Леймана добавляет вторую карточку результатов с заголовком Преобразование Шмида — Леймана, … - … (метод извлечения и вращение), которая в содержании вывода называется Шмид — Лейман. Параметр доступен при косоугольном вращении в РФА, кроме Квартимин и Биквартимин (косоугольный бифакторный), начиная с 2 факторов: для одного фактора иерархическая омега не имеет смысла. Карточка представляет косоугольное решение как иерархию: общий фактор g, нагружающий все переменные, и ортогональные групповые факторы F1, F2…, отражающие то общее, что есть у каждой группы пунктов сверх g (преобразование Шмида — Леймана). Это отдельная подгонка, а не перестановка нагрузок основного решения: функция omega() из psych заново извлекает и вращает решение, прежде чем его преобразовать. Поэтому карточка открывается собственной шапкой (переменные, исключённые нечисловые переменные, объём выборки и число групповых факторов) и имеет собственный раздел диагностики, а её заголовок называет фактически выполненные извлечение и вращение, которые могут не совпадать с выбранными вами.

Когда нужно преобразование Шмида — Леймана? Когда факторы коррелируют и вопрос в том, проходит ли через них всех одно общее измерение (иерархическая факторная модель). Начиная с трёх факторов ту же структуру за один шаг даёт бифакторное вращение.

Поскольку это отдельная подгонка, в пяти отношениях она может отличаться от основного решения, и каждое такое отличие отмечено в диагностике карточки:

• У неё может быть собственный случай Хейвуда, или, наоборот, его может не быть при проблемном основном решении. Коэффициенты омега и декомпозиция дисперсии тогда ненадёжны, а нагрузки основного решения это не затрагивает.
• Нормализация Кайзера не следует вашей настройке: при Промакс и Кластер преобразование нормализует нагрузки всегда, а при Облимин, Симплимакс, Геомин Q и Q-инвариант Бентлера — никогда, что бы ни было отмечено во флажке. С настройками по умолчанию (флажок снят для всех вращений, кроме варимакса) две матрицы нагрузок при промаксе и кластерном вращении масштабированы по-разному, и при любом расхождении предупреждение называет, какая из них нормализована. Сравнивая их, учитывайте это.
• Три метода извлечения до преобразования не доходят: при методах Невзвешенный МНК, Альфа-факторизация и Взвешенный χ² по минимальному объёму выборки иерархия строится методом Минимальный остаток. Об этом сообщают заголовок карточки и ссылка на источник, а предупреждение Шмид — Лейман выполнен другим методом извлечения называет оба метода. Основное решение сохраняет выбранный вами метод.
• Может быть заменено и вращение: если косоугольный критерий не срабатывает внутри преобразования, вместо него выполняется Промакс. Заголовок карточки называет фактически выполненное вращение, а предупреждение Шмид — Лейман выполнен другим вращением — оба вращения, так что ни один результат на карточке не приписан вращению, которое на самом деле не выполнялось.
• Подгонка может исчерпать итерации сама по себе, и об этом сообщается здесь, а не на основной карточке. Сошедшееся основное решение рядом с предупреждением Шмид — Лейман не сошёлся — реальное сочетание, а не противоречие.

Кроме того, omega() перед оценкой коэффициентов меняет направление каждого пункта с отрицательной нагрузкой на g, а предупреждение Шмид — Лейман: инвертированные пункты называет такие пункты. Показанные нагрузки сохраняют исходное направление пунктов, так что отрицательная нагрузка на g в таблице остаётся отрицательной, а коэффициенты омега описывают пункты с изменённым направлением. Так же получают и публикуемые значения омега.

Коэффициенты надёжности омега #

Коэффициенты надёжности омега. Таблица «ключ — значение», по строке на коэффициент: значение, бутстрэп-интервал, если включён параметр Доверительные интервалы для коэффициентов омега, и вывод при включённой настройке интерпретации. Строки заголовков у таблицы нет, поэтому уровень интервала указан в примечании под ней. Сначала идут пять общих строк, затем по три на каждый групповой фактор. Строка с коэффициентом, который не удалось получить (групповой фактор выродился), остаётся в таблице с приглушённым —, так что субшкалу без оценки не примут за благополучную. Смысл каждого коэффициента объяснён на странице о надёжности. Строки такие:

• Омега иерархическая (ωh) — доля дисперсии суммарного балла, которую объясняет общий фактор (омега иерархическая). Оценки: Сильный общий фактор от 0.80, Умеренный от 0.50, Слабый ниже.
• Омега общая (ωt) — надёжность суммарного балла по всем факторам вместе. Она оценивается по той же шкале, что и все остальные коэффициенты надёжности в приложении (метрики надёжности), так что значение ниже 0.70 и здесь, и там получает оценку Сомнительная. Это то же число, которое модуль надёжности приводит для тех же пунктов как ω Мак-Доналда.
• Омега иерархическая асимптотическая (ωh/ωt) — ωh, делённая на ωt: какая часть того, что шкала надёжно измеряет, приходится на общий фактор (асимптотическая омега иерархическая). Граница одна: Надёжная дисперсия преимущественно общая от 0.80, Надёжная дисперсия во многом специфична для групповых факторов ниже.
• Объяснённая общая дисперсия (ECV) — доля общего фактора в общей дисперсии, то есть строка общего фактора в декомпозиции дисперсии (объяснённая общая дисперсия). Существенная многомерность ниже 0.50, Умеренная многомерность до 0.70, а Фактическая одномерность от 0.70, но только если это подтверждает PUC не ниже 0.80 или ωh не ниже 0.70.
• Коэффициент H (g) — воспроизводимость конструкта: насколько хорошо оптимально взвешенная сумма пунктов восстановила бы общий фактор, а значит, насколько вероятно, что он проявится в другом исследовании (коэффициент H). Хорошо определённый конструкт от 0.80, Достаточно определённый конструкт от 0.70, Слабо определённый конструкт ниже.
• Омега иерархическая субшкалы F1, F2… (ωhs) — по строке на групповой фактор: надёжность субшкалы после исключения общего фактора, то есть только её специфической части (омега иерархическая субшкалы). Вывода у неё намеренно нет: пороги надёжности установлены для самостоятельного балла, а малое ωhs свидетельствует о широте охвата общего фактора, а не о дефекте субшкалы.
• Омега субшкалы F1, F2… (ωs) — надёжность той же субшкалы как самостоятельного балла, вместе с общей дисперсией. Выводится рядом с её ωhs (омега субшкалы) и оценивается по шкале надёжности, как ωt.
• Коэффициент H F1, F2… — та же мера воспроизводимости для каждого группового фактора, по его столбцу иерархических нагрузок. Выводится без оценки.

Смотрите на ωhs и ωs вместе. ωs показывает ценность субшкалы как самостоятельного балла, а ωhs — что она добавляет сверх суммарного балла. Большой разрыв означает, что в субшкале в основном проявляется общий фактор (омега иерархическая субшкалы).

ECV без PUC мало что значит. Высокий ECV убедителен лишь настолько, насколько велика доля пар пунктов, способных вообще выявить групповой фактор, а её и показывает строка PUC под декомпозицией дисперсии (процент незагрязнённых корреляций).

Если включён параметр Доверительные интервалы для коэффициентов омега (он появляется, когда отмечено преобразование), третий столбец содержит бутстрэп-интервал для каждой строки: общих коэффициентов, омег субшкал и каждого коэффициента H, а примечание под таблицей указывает уровень и метод. Наблюдения выбираются с возвращением столько раз, сколько задано в настройке Повторы бутстрэпа, на каждой бутстрэп-выборке корреляционная матрица строится заново с вашим типом корреляции, и по ней заново выполняется всё преобразование. Ширину задаёт Уровень доверия, а Зерно бутстрэпа делает границы воспроизводимыми (процентильный бутстрэп с коррекцией смещения). Повторное построение иерархии на каждом повторе идёт медленно, а с типом Смешанная (полихорическая/полисериальная), где на каждой бутстрэп-выборке заново оценивается и матрица, расчёт может занять несколько минут, о чём во время расчёта предупреждает примечание. Интервалы субшкал грубее общих, поскольку групповые факторы каждой бутстрэп-выборки перед объединением сопоставляются с исходным решением, и примечание тоже об этом предупреждает. У каждого интервала своё число пригодных бутстрэп-выборок, ведь бутстрэп-выборка может дать вполне пригодное ωh и при этом потерять групповой фактор. Наименьшее из этих чисел приводит второе примечание, и оно бывает трёх видов. Если пригодных бутстрэп-выборок меньше 50, затронутые границы показаны как —, а примечание становится предупреждением. Если меньше 50 задано в самой настройке Повторы бутстрэпа, сбоев не было, и предупреждение просит увеличить значение. Если же каждый интервал набрал не меньше 50 бутстрэп-выборок, но меньше запрошенного, примечание носит справочный характер, и границы остаются в силе. Поэтому — в столбце означает интервал, который не удалось оценить, а не строку без бутстрэпа.

Декомпозиция дисперсии #

Декомпозиция дисперсии. Таблица, которая делит общую дисперсию между общим фактором и каждым групповым фактором: столбцы Фактор, Дисперсия и % от общего, строка Общий (g), по строке на групповой фактор и выделенная строка Итого. Подпись объясняет, что это за дисперсия, а под ней стоит строка PUC. Учитывается только общая дисперсия: итог равен сумме квадратов нагрузок общего и групповых факторов, а не числу переменных, и каждый процент — доля этого итога. Итог близок к сумме общностей основного решения, но при перекрёстных нагрузках может с ней не совпадать (преобразование Шмида — Леймана).

• Общий (g) — строка общего фактора: сумма квадратов его нагрузок по пунктам и её доля в итоге, то есть ECV (общий фактор).
• % от общего — доля каждой строки в общей дисперсии. У строки общего фактора это ECV, у строки группового — собственная ECV этого фактора, и вместе они дают 100% (объяснённая общая дисперсия).

Строка под подписью приводит процент незагрязнённых корреляций (PUC), то есть долю пар пунктов, которые относятся к разным групповым факторам. Каждый пункт при этом отнесён к групповому фактору с наибольшей нагрузкой: обычно PUC считают по априорному ключу субшкал, и такое отнесение его заменяет. Там же указан порог вывода Фактическая одномерность в приложении: ECV ≥ 0.70, что выше эмпирического правила ECV > 0.60, поэтому решение, которое некоторые источники назвали бы одномерным, здесь так помечено не будет (процент незагрязнённых корреляций).

Иерархические факторные нагрузки #

Иерархические факторные нагрузки. Интерактивная таблица с теми же элементами управления, что у матрицы нагрузок: Порог отсечения с начальным значением из поля Порог отображения нагрузок, Порог выделения (здесь 0.40, а не 0.6, как в основной таблице), Сортировать по и Обновить таблицу. Порог выделения ниже потому, что преобразование делит нагрузку каждого пункта между общим и групповым фактором, и ни одна часть по отдельности не достигает границы, которую преодолевает неразделённая нагрузка. Над таблицей строка легенды называет столбцы. По строке на переменную: общая нагрузка, групповые нагрузки и четыре диагностических показателя. Нагрузка, которую не удалось оценить, показана красным Н/Д, а не пустой ячейкой, так что пустая ячейка здесь означает только «ниже порога». Наибольшая нагрузка группирует переменные по самому сильному групповому фактору и, как основная таблица в бифакторном решении, не учитывает g, у которого наибольшая нагрузка почти у каждого пункта. Диаграмма ниже группирует переменные так же, и изменение порога здесь её перерисовывает.

• g — нагрузка на общий фактор (общий фактор).
• F1, F2, … — нагрузки на групповые факторы, ортогональные g и друг другу (групповой фактор).
• h² — общность, дисперсия, объяснённая всеми факторами вместе (общность).
• u² — уникальность, 1 − h² (уникальность).
• p² — доля общей дисперсии переменной, которая приходится на g: g² ⁄ h².
• com — сложность Хоффмана, равная 1, если переменная нагружается ровно на один фактор (сложность).

Пустой столбец группового фактора? Если все нагрузки группового фактора ниже порога, эту группу пунктов поглотил общий фактор. Обычно это повод извлечь на один фактор меньше, а не снижать порог (групповой фактор).

Иерархическая диаграмма путей #

Иерархическая путевая диаграмма. Диаграмма путей преобразованного решения, которая рисуется при включённом параметре Диаграмма путей и озаглавлена на холсте Иерархическая структура Шмида — Леймана. Общий фактор и групповые факторы стоят по разные стороны от переменных, поэтому веер общего фактора ко всем переменным и веера групповых факторов подходят с противоположных сторон и не пересекаются. Диаграмма следует порогу отсечения таблицы иерархических нагрузок: измените его там, нажмите Обновить таблицу, и диаграмма перерисуется. Самая сильная нагрузка каждой переменной на групповой фактор ниже порога остаётся бледной пунктирной линией, а линии g ниже порога просто не рисуются. Флажок Показать значения на диаграмме действует так же, как на основной диаграмме. Легенда называет использованные стили линий (Нагрузки: с образцами Положительная и Отрицательная и порогом, Основная нагрузка ниже порога, если такая линия есть, Нагрузки общего фактора и Остаточная дисперсия (u²)), а кнопки экспорта сохраняют диаграмму как schmid_leiman_path_diagram, так что две диаграммы одного расчёта не сохранятся в одноимённые файлы.

• Групповые факторы — синие эллипсы F1, F2… слева. Линия к переменной прямая для её самой сильной групповой нагрузки и изогнутая для перекрёстной, синяя или красная по знаку.
• Переменные — прямоугольники посередине, сгруппированные по самому сильному групповому фактору.
• Общий фактор «g» — оранжевый эллипс справа, от которого бледные пунктирные линии расходятся к каждой переменной, чья нагрузка на g выше порога.
• Ошибки — кружки на коротких отводах под 45° от правого верхнего угла каждой переменной с её u² из иерархического решения. Значение видно при наведении.

Факторные оценки Шмида — Леймана #

Факторные оценки Шмида — Леймана. При включённом параметре выводятся первые 10 наблюдений со столбцом g и столбцом для каждого группового фактора, примечание с числом наблюдений и выполненным методом и строка Детерминированность оценок с той же шкалой ρ и теми же уровнями. Оценки вычисляются по иерархическим нагрузкам методом, выбранным выше в поле Метод расчёта оценок (преобразование Шмида — Леймана). Здесь на детерминированность стоит смотреть особенно внимательно: общий столбец и групповой столбец каждого блока по построению почти пропорциональны, поэтому иерархические оценки обычно наименее детерминированы из всего, что выдаёт модуль, и часто не достигают 0.80. Детерминированность входит в стандартный набор показателей бифакторной модели наряду с ωh, ECV и PUC. Столбец Наблюдение, как и в основной таблице оценок, содержит номер строки в исходном наборе данных.

• Добавить оценки ПШЛ в набор данных — добавляет оценки как новые переменные SLT_g, SLT_F1, SLT_F2… с суффиксом метода для всех методов, кроме регрессионного (SLT_g_Bartlett, SLT_g_Anderson, SLT_g_tenBerge). Правила те же, что у кнопки Добавить оценки в набор данных: подтверждение перед перезаписью существующей переменной, NA в исключённых анализом наблюдениях, новые переменные не добавляются в ваш выбор, а если набор данных изменился после расчёта, добавление отклоняется.

Сравнение методов извлечения #

Открывается кнопкой Сравнить методы извлечения на шаге 3. В диалоговом окне выбираются методы извлечения, а карточка подгоняет решение, настроенное на шаге 3 (его число факторов, вращение с шага 1 и параметр Нормализация Кайзера), каждым из них параллельно, так что видно, насколько важен выбор метода. На карточке таблица индексов соответствия по строке на метод, а затем коэффициенты конгруэнтности Такера для каждой пары решений. Заголовок карточки называет выполненное вращение, в содержании вывода она называется Сравнение методов извлечения. В её начале перечислены переменные, исключённые нечисловые переменные, объём выборки, число факторов, применялась ли Нормализация Кайзера и какие методы сравниваются. При чёткой структуре методы сходятся, а на пограничных данных расходятся (что даёт выбор и когда он важен, объяснено в разделе метод извлечения).

Выбор методов #

Диалог открывается, только если настройки шага 3 позволяют выполнить расчёт: хотя бы три числовые переменные, число факторов в пределах границы Ледермана (граница РФА действует и при АГК, поскольку каждая сравниваемая строка — извлечение общих факторов) и никакого бифакторного вращения при числе факторов меньше трёх. О нарушенном условии сообщает всплывающее уведомление, пока его ещё можно исправить, причём условия проверяются в том же порядке, что и кнопкой Запустить полный анализ, так что диалог и кнопка всегда называют одну и ту же первую проблему. Строка в верхней части диалога называет число факторов, вращение и нормализацию, которые унаследует сравнение, поскольку ни одно из этих полей недоступно, пока диалог открыт. При РФА ваш собственный метод извлечения при открытии отмечен вместе с методами, отмеченными в прошлый раз (в первый раз это Максимальное правдоподобие (ML), Факторизация главных осей (PA) и Минимальный остаток (MINRES)), так что сравнение включает решение, которое оно проверяет. Снимите отметку, если хотите намеренно его исключить. При АГК отмеченные методы по-прежнему извлекают общие факторы, а ваше компонентное решение подгоняется один раз как опорное решение для конгруэнтности. Оно входит в каждую пару в таблице конгруэнтности и не получает строки в таблице индексов соответствия. Об этом сообщает строка сведений об анализе на карточке. Если эта подгонка не удалась, строка становится красной (сообщение R видно при наведении), и коэффициенты сравнивают только методы извлечения между собой.

• 3 основных (ML, PA, MINRES) — отмечает максимальное правдоподобие, факторизацию главных осей и минимальный остаток, три самых распространённых метода, и снимает отметки с остальных шести
• Выбрать все — отмечает все девять методов
• Снять все отметки — снимает отметки со всех девяти
• Запустить сравнение — выполняет сравнение по отмеченным методам (нужно не меньше двух, иначе всплывающее уведомление отклоняет запуск), закрывает диалог и добавляет карточку

Девять флажков — это методы извлечения шага 1, подписанные вместе с аббревиатурами. Невзвешенный МНК (ULS) и Минимальный остаток (MINRES) минимизируют почти один и тот же критерий (квадраты остатков по всей матрице и только по внедиагональным элементам) и дают почти одинаковые нагрузки. Их конгруэнтность округляется до 1.000, поэтому в паре они почти никогда не служат независимой проверкой друг друга. Диалог об этом предупреждает, но оба метода остаются доступными (невзвешенный МНК, минимальный остаток).

Сравнение индексов соответствия #

Сравнение показателей соответствия. По строке на метод в порядке диалога: четыре оцениваемых индекса, критерий точного соответствия, два информационных критерия, затем сложность, Накопленный % и число неотнесённых переменных. Каждая строка — ваше решение шага 3, заново подогнанное этим методом, с тем же вращением и той же настройкой Нормализация Кайзера. Поэтому строка метода, который вы запускали, воспроизводит числа основной карточки, а остальные показывают то же решение с точки зрения другого метода. RMSEA, CFI, TLI, SRMR, BIC и SABIC понимаются так же, как на карточке индексов соответствия шага 3, где они и описаны. Лучшее значение в каждом столбце выделено полужирным (меньшие RMSEA, BIC, SABIC, SRMR и сложность, большие CFI, TLI и Накопленный %, ноль неотнесённых переменных), по значению в том виде, в каком оно выведено. RMSEA, CFI, TLI и SRMR ещё и окрашены по вашим порогам соответствия: зелёный — хорошее или отличное соответствие, жёлтый — посредственное, красный — плохое. Так видно, действительно ли выделенный как лучший метод хорошо описывает данные или лишь описывает их наименее плохо. У всех строк одно и то же df, поскольку все методы подгоняются при одном числе факторов. При df ≤ 0 решение в каждой строке воспроизводит корреляционную матрицу по построению, окраска не применяется (строка легенды объясняет почему), и различать методы продолжают лишь столбцы, не выведенные из ML, и коэффициенты конгруэнтности ниже. Чтобы сравнение имело смысл, извлеките меньше факторов. χ², RMSEA, CFI, TLI, BIC и SABIC вычисляются по функции расхождения максимального правдоподобия, каким бы методом ни были получены нагрузки, поэтому ML по ним выделяется по построению. Как и сказано в легенде, понимайте это выделение как «ближе всего к критерию ML», а не «лучше всего соответствует данным». SRMR, сложность, Накопленный % и число неотнесённых переменных сравнивают методы корректно. Над таблицей в том же порядке выводятся оповещения о матрице, которые выдаёт шаг 3: матрица не положительно определена или сглажена, расчёт с типом Смешанная перешёл на корреляции Пирсона или обработал порядковые переменные с многими значениями как непрерывные, матрица неполного ранга с оповещением Обнаружены избыточные переменные, где названо, какую переменную исключить. Эта карточка не выполняет проверок пригодности данных, и без этих оповещений она сравнивала бы девять попыток подогнать неподгоняемую матрицу, не предупредив об этом. Легенда под таблицей повторяет правило выделения, порог выраженной нагрузки и правила для случаев Хейвуда, добавляет расшифровку цветов, если хотя бы одна строка оценивается, и при необходимости выводит четыре примечания: оговорку о показателях на основе ML всегда, примечания о звёздочке и значке †, если строка была перезапущена или не сошлась, и примечание о df ≤ 0, если у сравнения нет остаточных степеней свободы.

• Метод извлечения — метод, обозначенный аббревиатурой, которую диалог показывает в скобках (ML, PA, MINRES, ULS, WLS, GLS, MINCHI, MINRANK, ALPHA), с пометками строки. Подгонка не удалась красным (сообщение R видно при наведении) означает, что метод не удалось подогнать: его ячейки показывают –, и в таблицу конгруэнтности он не входит. Случай Хейвуда или Недопустимо (сверхслучай Хейвуда) отмечает недопустимое решение. Звёздочка (*) означает, что подгонка с начальными значениями по умолчанию не удалась и метод подогнан при повторном запуске с единичными общностями (повторно запускаются только PA и ALPHA). Его показатели и коэффициенты конгруэнтности опираются на другие начальные условия, чем у остальных строк, и ориентировочны, а не строго сопоставимы. Значок † означает, что метод не сошёлся за допустимое число итераций, как и в таблице сравнения моделей. Строка заполнена полностью, коэффициенты вычислены как у всех, но на модели, которая не успела сойтись. Пояснение к каждой пометке видно при наведении.
• Недопустимо (сверхслучай Хейвуда) — общность больше 1 в решении этого метода, как Сверхслучай Хейвуда на шаге 3. Строка окрашена красным и не участвует в выборе лучших значений. Случай Хейвуда (общность 0.999 и выше) — предостережение: строка окрашена жёлтым и в выборе участвует (случай Хейвуда). Для методов, которые psych подгоняет оптимизацией с ограничениями, это уникальность на нижней границе 0.005, как и на шаге 3.
• χ²(df), p — критерий точного соответствия для модели этой строки (воспроизводит ли она корреляционную матрицу с точностью до выборочной ошибки) со степенями свободы, одинаковыми во всех строках, и p-значением. Там, где метод не подогнан или статистика не определена, стоит – (критерий хи-квадрат соответствия модели). Это единственный столбец на основе ML, в котором ничего не выделяется.
• Сложность — средняя по переменным сложность Хоффмана в решении этого метода при вашем вращении. Поэтому для выполненного вами метода она совпадает с качеством решения на шаге 3, тогда как таблица сравнения моделей оценивает копию с варимаксом. Выделяется полужирным на минимуме.
• Накопленный % — доля дисперсии переменных, которую объясняет решение, она же его средняя общность. Это та же величина в тех же единицах, что и одноимённый столбец таблицы сравнения моделей. При косоугольном вращении перекрытие коррелирующих факторов учтено, так что равенство выполняется в любом случае. Выделяется полужирным на максимуме.
• Неотнесённые переменные — сколько переменных не имеют ни одной выраженной нагрузки (ни одна не достигает 0.3 по модулю) во вращённом решении этого метода. Порог фиксирован и не следует за порогом отображения нагрузок. Выделяется полужирным при 0.

Коэффициенты конгруэнтности Такера #

Коэффициенты конгруэнтности Такера. Насколько похожи факторные решения разных методов, попарно: сначала сводка средних по парам, затем таблица с коэффициентом для каждого фактора в каждой паре (что измеряет это число и как его понимать, объяснено в разделе коэффициент конгруэнтности). Конгруэнтность вычисляется для пар, поэтому нужны два метода, получившие решение. Если их меньше, вместо раздела выводится примечание с объяснением. Показатели сводки перечислены ниже. Каждый окрашен по тем же уровням, что и таблица, а среднее и показатель по отдельному фактору получают вывод: ≥ 0.95 — решения практически эквивалентны, 0.85–0.94 — достаточно схожи, ниже 0.85 — существенно различаются. При АГК сводка разделена на две части: Общее сходство факторных решений (методы РФА между собой) и Компонентное решение в сравнении с каждым методом извлечения (те же четыре показателя для пар с вашим опорным решением, то есть ответ на вопрос, ради которого вы открыли диалог). При РФА или если подогнать удалось только один метод извлечения выводится один набор. В сводку входит каждая пара, какие бы пометки у неё ни были, поэтому сводка сама делает оговорки: пара с решением Хейвуда или недопустимым решением, с методом, подогнанным лишь при повторном запуске с SMC = FALSE, или с методом, не сошедшимся за допустимое число итераций, добавляет своё предостережение прямо там, а не оставляет его легенде под таблицей.

• Среднее сходство по всем парам методов — среднее средних по всем сравниваемым парам с выводом. Это единственное среднее сводки при РФА или когда подогнать удалось только один метод извлечения
• Среднее сходство по парам методов извлечения общих факторов — при АГК то же среднее по парам методов РФА между собой, без компонентного решения
• Среднее сходство с компонентным решением — при АГК среднее по парам с вашим опорным решением: насколько компонентная структура сохраняется при извлечении общих факторов
• Минимальное сходство (наиболее различающаяся пара) — наименьшее среднее по паре в своей группе: два метода, которые согласуются хуже всего. Найти их в таблице можно по столбцу Среднее значение
• Максимальное сходство (наиболее похожая пара) — наибольшее среднее по паре в своей группе: два метода, которые согласуются лучше всего
• Наименьшее сходство по отдельному фактору — наименьший коэффициент среди всех факторов во всех парах своей группы, с выводом. Фактор, который не воспроизводится между двумя методами, виден здесь, даже если среднее его пары по остальным факторам выглядит хорошо

В таблице ниже по строке на пару. Значения окрашены зелёным (≥ 0.95, полужирным), жёлтым (0.85–0.94) и красным (< 0.85). Строка окрашена жёлтым, если в одном из её методов случай Хейвуда, и красным при сверхслучае Хейвуда. Высокий коэффициент в такой строке означает лишь, что два решения согласуются, а не что хотя бы одному из них можно доверять, поэтому сначала добейтесь допустимости решений, обычно уменьшив число факторов, а потом смотрите на конгруэнтность. Звёздочка повторного запуска строку не окрашивает, поскольку касается сопоставимости, а не допустимости. Коэффициенты приводятся по модулю, поскольку знак фактора — произвольный побочный результат вращения. Об этом сказано в легенде, и это важно при сверке с psych::factor.congruence(), которая выдаёт коэффициент со знаком. Легенда называет опорный метод, повторяет правило сопоставления, объясняет каждую встретившуюся пометку и приводит три уровня.

• Сравнение — два метода, обозначенные аббревиатурами, с теми же пометками Случай Хейвуда, Недопустимо (сверхслучай Хейвуда), звёздочкой и значком †, что и в таблице индексов соответствия. Метод, подогнанный с других начальных значений, дал другое решение, поэтому его конгруэнтность с остальными отражает и это
• F1…Fn — коэффициент пары для каждого фактора. Факторы двух методов сопоставлены один к одному по наилучшему совпадению, и именно на таком сопоставлении определён коэффициент Такера. Подписи столбцов берутся из единого выравнивания по одному опорному методу (вашему решению АГК, если оно подогнано как опорное, иначе методу, решение которого ближе всего ко всем остальным), поэтому F1 обозначает один и тот же фактор во всех строках, сколько бы методов вы ни сравнивали. Какой метод опорный, указано в легенде
• Среднее значение — среднее ячеек строки. Минимум строки не выводится, но используется в строке сводки о наименьшем коэффициенте по отдельному фактору, так что таблица никогда не противоречит числам над ней

Устойчива ли структура? Конгруэнтность ≥ 0.95 между методами означает, что факторы не порождены выбранным методом извлечения. Низкая конгруэнтность указывает на неустойчивую структуру: слишком мало наблюдений, слишком мало пунктов на фактор или неверное число факторов (коэффициент конгруэнтности).

Взаимосвязь настроек #

Некоторые настройки влияют друг на друга:

• При выборе Главные компоненты (АГК) вращения Бифакторное и Биквартимин (косоугольный бифакторный) становятся недоступны (выбранное из них сбрасывается на Варимакс вместе с соответствующим значением нормализации по умолчанию), а преобразование Шмида — Леймана скрывается. Косоугольные вращения, корреляции компонент и сравнение методов извлечения остаются доступными
• При выборе Без вращения флажок Нормализация Кайзера становится недоступен и снимается. При смене вращения флажок возвращается к значению по умолчанию для нового вращения: включён для Варимакс, выключен для остальных
• Число факторов 1 точно так же отключает и снимает этот флажок, что бы ни было выбрано в списке вращений, и вдобавок скрывает Корреляции факторов/компонент и параметр Шмида — Леймана. Когда число снова увеличивается, флажок нормализации возвращается к значению по умолчанию для вращения, так что после перехода 3 → 1 → 3 нормализация для варимакса сохраняется. Метод расчёта оценок при одном факторе закреплён на Регрессия, а оговорка об оценках Андерсона — Рубина снимается
• При выборе косоугольного вращения появляется флажок Корреляции факторов/компонент (для АГК так же, как для РФА, начиная с 2 факторов), и он отмечается только в момент этого переключения: если вы его сняли, последующее изменение числа факторов его не трогает. Ортогональное вращение снова скрывает и снимает флажок
• Изменение выбора переменных или метода извлечения заново задаёт предел числа факторов во всех трёх полях и уменьшает значения, которые его превышают
• При выборе косоугольного вращения в РФА, кроме Квартимин и Биквартимин (косоугольный бифакторный), начиная с 2 факторов появляется параметр Шмида — Леймана. Когда он скрывается, флажок и два его вложенных параметра снимаются
• Включение параметра Преобразование Шмида — Леймана открывает параметры Факторные оценки Шмида — Леймана и Доверительные интервалы для коэффициентов омега, а выключение снимает оба
• Включение параметра Оценки факторов/компонент или Факторные оценки Шмида — Леймана открывает список Метод расчёта оценок
• Включение параметра Матрица нагрузок открывает Доверительные интервалы (бутстрэп) для нагрузок, а выключение снимает этот вложенный параметр, поскольку без таблицы его негде вывести
• Включение параметра Диаграмма путей открывает Показать значения на диаграмме. Отметка этого флажка не меняется, так что после выключения и включения диаграммы вложенный параметр возвращается в том состоянии, в каком вы его оставили

Пропущенные данные #

Пропущенные значения обрабатываются по глобальной настройке пропущенных данных с одним отличием. Факторный анализ строится по одной корреляционной матрице, поэтому, какой бы метод ни был задан в настройке, модуль перед построением матрицы исключает каждое наблюдение, в котором пропущена хотя бы одна из выбранных переменных. Попарного варианта здесь нет. Если в настройке задано построчное удаление, наблюдения с пропусками в любой переменной, выбранной в окне выбора переменных, уже исключены, и этот отбор захватывает не меньше наблюдений, чем собственный отбор модуля. При импутации пропуски заполнены до того, как данные попадают в модуль, и ничего не исключается. Шапка каждой карточки указывает объём выборки, по которому построена матрица, а карточка пригодности сообщает, сколько строк исключил сам модуль, и это число можно сравнить с числом строк в файле (построчное удаление).

Сколько наблюдений нужно для факторного анализа? Эмпирические правила расходятся на порядок, и сила структуры важнее любого соотношения (отношение наблюдений к переменным).

Пороги интерпретации #

При включённой настройке интерпретации таблицы пригодности, MSA, сравнения моделей, индексов соответствия и омеги содержат столбец с выводом, а при выключенной — только числа. Цветовая разметка (строка детерминированности, обе таблицы сравнения методов извлечения, жёлтые общности и полужирные нагрузки) выводится в любом случае, поскольку это форматирование, а не столбец. Четыре шкалы соответствия — это ваши пороги соответствия, и их можно изменить там. Все остальные границы фиксированы, и каждый вывод ставится по значению в том виде, в каком оно выведено, так что подпись никогда не противоречит числу рядом с ней. Границы (каждая объяснена в своём разделе выше):

Контрольный список для отчёта #

Что стоит включить в описание результатов факторного анализа:

Метод:

• Метод извлечения (например, MINRES, ML, АГК) и причина его выбора
• Метод вращения (например, облимин, варимакс), причина выбора и применялась ли нормализация Кайзера
• Тип корреляции (Пирсона, полихорическая и т. д.)
• Как определялось число факторов (параллельный анализ, MAP Велицера, эмпирический критерий Кайзера, метод выпуклой оболочки, график каменистой осыпи, индексы соответствия, теоретические соображения), а для параллельного анализа — число повторов и зерно
• Использованный порог отображения нагрузок
• Объём выборки и отношение наблюдений к переменным
• Как обрабатывались пропущенные данные

Результаты:

• KMO и критерий Бартлетта (пригодность данных)
• Индексы соответствия (RMSEA с 90%-ным интервалом, CFI, TLI — для РФА)
• Сводка остатков: SRMR и число остатков больше 0.05. Это единственная характеристика соответствия, которая означает одно и то же для АГК и РФА
• Общая объяснённая дисперсия
• Полная матрица нагрузок (или хотя бы нагрузки выше порога) с общностями, а для косоугольных вращений — матрицы паттерна и структуры. Если вы строили бутстрэп-интервалы для нагрузок, приведите их вместе с нагрузками и укажите, на скольких повторах они основаны
• Корреляции факторов (для косоугольных вращений)
• Если факторные оценки сохранялись: метод расчёта оценок и детерминированность ρ для каждого фактора, которая зависит от этого метода, а также матрица коэффициентов оценок, если кому-то понадобится воспроизвести или повторно применить расчёт. При двух и более факторах рядом с корреляциями факторов стоит привести и корреляции самих оценок, поскольку читатель не может вывести одни из других
• Исключённые пункты и причины исключения

Для преобразования Шмида — Леймана:

• Омега иерархическая, омега общая, ωh/ωt, ECV, PUC и коэффициент H, с бутстрэп-доверительными интервалами, если они вычислялись
• Пара ωhs и ωs для каждой субшкалы
• Матрица иерархических нагрузок
• Какие пункты инвертировала функция omega() и был ли заменён метод извлечения или вращение (это видно из заголовка карточки и её диагностики)

Воспроизводимость #

Каждый анализ выводит исходный код R в консоль R, где команды можно посмотреть, скопировать или выполнить повторно. Факторный анализ использует пакет R psych, а также GPArotation для всех вращений, кроме Варимакс, Кластер и Без вращения (при АГК так же, как при РФА, и внутри преобразования Шмида — Леймана), Rcsdp для метода Минимальный ранг и MASS, если включены матрицы антиобраза. Ссылки на источники автоматически появляются в начале раздела вывода и отражают то, что действительно было сделано в вашем расчёте, а не весь набор возможностей модуля: пакеты и выполненное извлечение, критерий вращения, фактически применённый psych, нормализацию Кайзера, если она применялась, проверки пригодности, правила отбора, приведённые на карточке графика осыпи, индексы соответствия и, при включённой интерпретации, ориентиры для их оценки, метод расчёта оценок и его детерминированность, конгруэнтность Такера и оценщики корреляций, по которым построена матрица. Поэтому у двух расчётов, различающихся только вращением, будут разные списки литературы. Параллельный анализ, перебор VSS и MAP, случайные начальные точки вращения и повторная подгонка Шмида — Леймана задаются настройкой Зерно воспроизводимости, бутстрэп-интервалы — настройкой Зерно бутстрэпа. Оставьте зерно пустым, чтобы при каждом запуске получать новые случайные выборки, или задайте целое число, чтобы результаты можно было сравнивать между запусками. Решения, на которых построен модуль (от чего он отказывается, что сглаживает, на что переходит, что вращает сам и на что ссылается), обоснованы в методических заметках.

Типичные ошибки #

Факторный анализ — один из самых мощных инструментов поведенческих наук и одновременно один из тех, что чаще всего применяют неправильно. Прежде чем интерпретировать результаты, учтите несколько моментов.

РФА обнаруживает, а не подтверждает. РФА находит какую-то структуру, согласующуюся с вашими данными, но одни и те же данные могут дать разные структуры в зависимости от метода извлечения, вращения и числа факторов. Считать решение РФА доказательством того, что структура «реальна», — порочный круг. Чтобы проверить, подтверждается ли гипотетическая структура, используйте конфирматорный факторный анализ, в идеале на отдельной выборке.

Названия факторов — ваша интерпретация, а не свойство данных. Назвать фактор «эмоциональным интеллектом», потому что на него нагружаются пункты об эмпатии, самосознании и регуляции настроения, — творческое решение, а не статистический результат. Математика показывает лишь, что у этих переменных есть общая дисперсия, а смысл — ваше утверждение. Читатель должен видеть нагрузки и сам судить, обоснованно ли название.

Не используйте РФА как «улучшенную корреляцию». РФА моделирует латентную структуру и предполагает, что переменные порождаются стоящими за ними факторами. Если нужно просто узнать, какие переменные связаны, постройте корреляционную матрицу. РФА по переменным, у которых нет теоретических оснований иметь общую причину (ВВП, температура и размер обуви), охотно выдаст факторы, но смысла в них не будет.

Компоненты АГК — не латентные факторы. АГК — инструмент сокращения данных: он строит взвешенные композиты, максимизирующие объяснённую дисперсию, и не моделирует скрытых причин. Интерпретировать главную компоненту как латентную черту («первая компонента и есть общий интеллект») — более сильное утверждение, чем позволяет АГК. Если хотите делать выводы о латентных конструктах, используйте РФА.

Не гонитесь за чистыми нагрузками. Соблазнительно исключать переменные с перекрёстными нагрузками или низкими общностями, пока каждый пункт не будет аккуратно нагружаться ровно на один фактор. Но так можно получить шкалу, которая «работает» только на вашей выборке, потому что вы подгоняете шум. Исключайте пункты по содержательным причинам (неудачная формулировка, теоретическое несоответствие, эффекты пола и потолка), а не только ради более красивых нагрузок.

Не проводите РФА и КФА на одних и тех же данных. Распространённая схема в публикациях: выполнить РФА, найти 3 фактора, а затем на том же наборе данных выполнить КФА, чтобы «подтвердить» структуру. Это порочный круг: модель КФА, конечно, хорошо согласуется с данными, ведь структура извлечена из них же. Разделите выборку (РФА на одной половине, КФА на другой) или используйте независимую выборку для репликации.

Больше факторов — не значит лучше. Добавление факторов всегда увеличивает объяснённую дисперсию, так же как добавление предикторов всегда увеличивает R² в регрессии. Вопрос в том, отражает ли каждый фактор осмысленное измерение. Семифакторное решение, объясняющее 75% дисперсии, хуже трёхфакторного с 50%, если лишние факторы не поддаются интерпретации или содержат по 1–2 пункта. Факторы, в которых меньше 3 пунктов, как правило, неустойчивы.

Решения, привязанные к выборке. Факторная структура может различаться между выборками, культурами и контекстами. Пятифакторная модель личности, полученная на американских студентах, может не подтвердиться в клинической популяции или в другой культуре. Всегда описывайте характеристики выборки и используйте сравнение методов извлечения, чтобы проверить устойчивость структуры хотя бы на ваших собственных данных.