Латентные переменные и соответствие модели данным #

Удовлетворённость едой нельзя измерить так, как измеряют время ожидания. Измерить можно ответы на несколько вопросов, в которых эта удовлетворённость должна проявиться: еда была вкусной, продукты свежими, цена оправданной. Статистика этой страницы описывает переход от ответов к тому, что за ними стоит. Ниже разобрано, что такое латентная переменная, как факторный анализ находит её в наборе пунктов, сколько факторов оставить и стоит ли над ними один общий фактор. Затем речь пойдёт о конфирматорной модели, проверяющей структуру, в которую исследователь уже верит, и о том, как судят о соответствии такой модели данным. Дальше описано, как проверяют валидность шкалы и одинаково ли она измеряет в двух группах, а в конце — как теория тестовых заданий располагает пункты и людей на одной шкале. Числа получены на данных кафе, подготовленных так, как описано на той странице, причём ответы оставлены такими, какими их дали участники. Пункт медленно обратный («обслуживали медленно», и 5 здесь означает плохое обслуживание), и в данных он таким и остаётся. Об этом каждому модулю сообщают отдельно, в его собственной настройке: в IRT пункт выбирают в списке Обратные пункты (его находит кнопка Обнаружить), в анализе надёжности его отмечают в списке Обратные пункты (необязательно). У факторного анализа и КФА такой настройки нет. Они берут медленно в исходном виде, и его нагрузка получается отрицательной: по модулю такой же, как у соседних пунктов, но с обратным знаком.

Измерение того, что нельзя увидеть #

Латентная переменная — величина, которой нет в данных в виде столбца: её выводят из тех столбцов, что есть. За пунктами вкус, свежесть и цена стоит удовлетворённость едой, за пунктами приветливо, быстро и медленно — удовлетворённость обслуживанием. Латентную переменную определяет то, как она себя проявляет (все её пункты растут и падают вместе с ней), и измеряется она с ошибкой, потому что трёх вопросов никогда не хватает, чтобы охватить её целиком. Так устроен почти любой конструкт опросника: тревожность, вовлечённость, способность, лояльность к бренду. В приложении такие переменные оценивают модули факторного анализа, МСУ и КФА и IRT, и роли у них общие: сама латентная переменная, её индикаторы (пункты, измеряющие её) и, если измерение сравнивают, группирующая переменная, по уровням которой идёт сравнение. Психолог: пять пунктов о тревожности → индикаторы, тревожность → латентная переменная; учитель: вопросы экзамена → пункты, способность → черта; менеджер: опрос о вовлечённости → индикаторы, вовлечённость → конструкт.

Латентный — то же слово в роли прилагательного (латентное среднее, латентная корреляция). Оно означает, что речь идёт о ненаблюдаемой переменной, а не о её пунктах. На диаграмме путей латентную переменную рисуют кругом или эллипсом.

Наблюдаемая переменная — столбец данных (пункт, сумма чека, возраст), в отличие от латентной переменной, которую выводят из столбцов. На диаграмме путей это прямоугольник. В измерительной модели любая наблюдаемая переменная служит индикатором чего-либо, а в структурной модели некоторые из них выступают самостоятельными исходами или предикторами, как оценка ниже.

Наблюдаемый — прилагательное: наблюдаемая корреляция связывает два столбца, латентная — стоящие за ними переменные. Они различаются на величину ошибки измерения, и это различие — одна из причин вообще моделировать латентную переменную (см. корреляцию факторов).

Индикатор — наблюдаемая переменная, с помощью которой измеряют латентную: вкус — индикатор фактора Еда. Чтобы модель была идентифицирована, латентной переменной нужно не меньше трёх индикаторов (двух, если она коррелирует с другой), и чем больше у неё хороших индикаторов, тем точнее она измерена. Слово «индикатор» принято в КФА и МСУ, в факторном анализе и IRT — пункт.

Пункт — вопрос опросника или теста, а также столбец с ответами на него. На шесть пунктов кафе отвечали по шкале от 1 до 5, а ответ на пункт теста может засчитываться как верный или неверный. Теория тестовых заданий моделирует пункты по отдельности, а анализ надёжности и факторный анализ берут их набор как шкалу.

Конструкт — понятие, для измерения которого построена шкала, то есть словесное содержание латентной переменной. «Удовлетворённость едой» — конструкт, а фактор Еда служит его статистическим заместителем. Отражает ли фактор конструкт на самом деле, решает валидность, а не соответствие модели данным (см. конвергентную валидность).

Фактор — латентная переменная в терминах факторного анализа: общая причина набора пунктов, которую оценивают по корреляциям между ними. В разведочном анализе факторы находит и нумерует алгоритм (F1, F2), в конфирматорном их называет аналитик (Еда, Обслуживание). Фактор — не сумма своих пунктов, а то общее, что в них есть, без собственного шума каждого пункта.

Компонента — то, что анализ главных компонент получает вместо фактора: взвешенная сумма пунктов, веса которой подобраны так, чтобы на неё приходилась как можно большая доля их суммарной дисперсии. Компонента — сводка, а не причина. Чем она отличается от фактора, объяснено в разделе об АГК.

Измерительная модель — часть модели, которая указывает, какие индикаторы измеряют какие латентные переменные. В синтаксисе приложения это Еда =~ вкус + свежесть + цена, что читается как «Еда измеряется пунктами вкус, свежесть и цена». КФА — это измерительная модель и ничего больше, а МСУ надстраивает над ней структурную модель.

Измерение — одна латентная переменная в наборе пунктов, где их может быть несколько. Шесть пунктов кафе двумерны: Еда и Обслуживание. Шкала одномерна, если корреляции между её пунктами объясняет одна латентная переменная, и почти всё, что делают со шкалой (суммарный балл, коэффициент надёжности, IRT-модель), исходит из этого допущения.

Одномерность — допущение, что набор пунктов измеряет что-то одно. Прежде чем на него опираться, его проверяют: разведочным факторным анализом, который должен дать один фактор, или, в IRT, отношением первого собственного значения корреляционной матрицы пунктов ко второму. У шести пунктов кафе собственные значения 2.44 и 1.31, отношение 1.9, тогда как у одномерной шкалы оно не меньше 3. Именно эта проверка показывает, что Еду и Обслуживание надо моделировать по отдельности, а не как одну «удовлетворённость».

Диаграмма путей — изображение модели: латентные переменные в эллипсах, наблюдаемые в прямоугольниках, односторонние стрелки для «измеряет» или «предсказывает», двусторонние для «коррелирует с», а на стрелках подписаны оценки. Приложение рисует такую диаграмму для любой факторной модели, КФА и МСУ, если отмечен соответствующий параметр, и по ней быстрее всего видно, что утверждает модель.

Поиск структуры: факторный анализ #

Разведочный факторный анализ исходит из корреляций между пунктами и выясняет, сколько латентных переменных и с какими нагрузками на пункты могли бы их породить. Внутри тройки о еде пункты кафе коррелируют от 0.38 до 0.51, внутри тройки об обслуживании — от 0.36 до 0.43 по модулю (две корреляции пункта медленно отрицательны, потому что он направлен в обратную сторону), а между тройками по модулю лишь от 0.07 до 0.28. Это картина двух групп, и именно её воспроизводят два фактора.

Разведочный факторный анализ находит факторы в наборе пунктов, не зная заранее, каковы они. Аналитик выбирает, сколько факторов извлечь, метод извлечения и вращение, а алгоритм решает, какие пункты нагружены на какой фактор. На шести пунктах кафе с двумя факторами, методом минимального остатка и вращением облимин получается та структура, под которую составлялся опрос. Пункты вкус, свежесть и цена нагружены на первый фактор (0.76, 0.59 и 0.64) и почти не нагружены на второй, а приветливо, быстро и медленно — на второй (0.58, 0.72 и −0.61) и почти не нагружены на первый. Нагрузка пункта медленно отрицательна, потому что он взят в исходном виде. Руководство по факторному анализу описывает три шага: настройки, число факторов, полный анализ.

Анализ главных компонент проходит те же шаги с другой целью: не найти причины корреляций, а сжать пункты в несколько сумм, сохранив как можно больше их суммарной дисперсии. На пунктах кафе две компоненты воспроизводят 62.5% суммарной дисперсии, а два фактора объясняют 44.1%. Компоненты объясняют больше, потому что вбирают не только общее у пунктов, но и собственный шум каждого из них, и нагрузки компонент (0.81, 0.73 и 0.81 для пунктов о еде) выше факторных (0.76, 0.59 и 0.64). Компоненты нужны, чтобы свести большой набор измерений к нескольким показателям, а факторы — чтобы измерить конструкт. Модуль факторного анализа предлагает то и другое в одной настройке метода извлечения, и по умолчанию выбран АГК.

Корреляционная матрица — то, к чему подгоняется факторный анализ: корреляции между пунктами, а не сами пункты. Поэтому два набора данных с одинаковыми корреляциями дают одинаковые факторы. Для ответов по шкале 1–5 приложение может вместо пирсоновских корреляций вычислить полихорические, в которых пять вариантов ответа рассматриваются как отрезки непрерывной шкалы, разделённые порогами. На этой странице для пунктов кафе везде используются пирсоновские корреляции. При чёткой структуре выбор мало что меняет. С корреляциями Спирмена ни одна нагрузка кафе не сдвигается больше чем на 0.06, а φ = 0.40. Полихорические корреляции (всем шести пунктам задан порядковый тип) дают нагрузки 0.79, 0.61 и 0.69 на Еду и 0.59, 0.73 и −0.66 на Обслуживание при φ = 0.39. Структура та же, что с пирсоновскими корреляциями, только общей дисперсии больше: 48.2% против 44.1%.

Модель общих факторов — модель, которую подгоняют все методы извлечения, кроме АГК. Каждый пункт в ней — взвешенная сумма факторов плюс часть, присущая только ему. Веса — это нагрузки пункта, остаток — его уникальность. По этой модели два пункта коррелируют только через общие факторы, поэтому модель подгоняют к корреляционной матрице, а не к самим пунктам. Метод извлечения ищет нагрузки, при которых следующие из модели корреляции как можно ближе к наблюдаемым, а общую часть каждого пункта, его общность, оценивает по ходу дела, а не задаёт заранее. Два фактора воспроизводят все пятнадцать корреляций шести пунктов кафе с точностью до 0.03, и индексы соответствия РФА обобщают именно это расхождение. По той же причине факторный анализ ничего не сообщает об отдельном участнике, пока по его результатам не рассчитаны факторные оценки. И по той же причине АГК, который оставляет на диагонали единицы и не выделяет общую часть, — другая модель, а не другой метод.

Редуцированная корреляционная матрица — корреляционная матрица, у которой единицы на диагонали заменены общностями пунктов (в начале — их квадратами множественной корреляции), так что факторизуется только общая для пунктов дисперсия. С этой матрицей работает извлечение РФА. При факторном методе график каменистой осыпи показывает её собственные значения синим рядом, а собственные значения обычной корреляционной матрицы — серой опорной кривой. Ряды выглядят по-разному: редуцированные собственные значения пунктов кафе равны 1.73, 0.58, −0.09, −0.15, −0.19 и −0.20, а у корреляционной матрицы — 2.44, 1.31, 0.66, 0.58, 0.54 и 0.47. Отрицательный хвост — обычное дело, ведь начальные общности занижают истинные. Поэтому критерий Кайзера применяют к серому ряду: по синему он оставил бы один фактор.

Квадрат множественной корреляции — R² регрессии одного пункта на все остальные, то есть доля дисперсии пункта, которую предсказывают остальные пункты. Это обычное первое приближение к общности пункта, которое затем уточняет извлечение. На пунктах кафе он лежит от 0.23 (медленно) до 0.36 (вкус), а итоговые общности — от 0.36 до 0.60. Первое приближение всегда занижено, потому что остальные пункты заменяют фактор лишь настолько, насколько хорошо его измеряют. Значение 0.99 и выше означает, что пункт — почти копия остальных, вместе взятых: суммарный балл, оставленный среди своих слагаемых, или пункт, введённый дважды. Приложение называет такой пункт в проверках пригодности, поскольку с ним случай Хейвуда почти неизбежен.

Граница Ледермана — наибольшее число факторов, которое модель общих факторов допускает при данном числе пунктов, пока неизвестных не стало больше, чем способны определить корреляции. Иначе говоря, это наибольшее число факторов, при котором степени свободы модели не отрицательны. Шесть пунктов допускают три фактора, и при трёх df ровно 0: модель насыщена, воспроизводит корреляции идеально по построению, и оценивать её соответствие данным нечем. Десять пунктов допускают шесть факторов, двадцать — четырнадцать. За границей модель не идентифицирована, поэтому шаг 2 в приложении на ней останавливается: для шести пунктов кафе предлагается от одного до трёх факторов. Идеальное соответствие на самой границе не доказывает, что факторов столько, ведь его дали бы любые данные. У АГК такой границы нет: компонентная модель не оценивает уникальностей и допускает столько компонент, сколько есть пунктов.

Метод извлечения — правило, по которому из корреляционной матрицы получают нагрузки. Все методы, которые приложение предлагает для факторного анализа, подгоняют одну и ту же модель общих факторов и различаются одним: тем, как измеряется расхождение между наблюдаемыми корреляциями и корреляциями, следующими из нагрузок. Извлечение делает это расхождение как можно меньше, а каждый метод — это свой способ его измерять. Выбор важен на пограничных данных (малая выборка, мало пунктов на фактор, почти сингулярная матрица) и почти не важен при чёткой структуре. При двух факторах на пунктах кафе девять методов воспроизводят нагрузки друг друга с точностью до 0.01 (минимальный ранг — до 0.03), а коэффициент конгруэнтности в диалоге сравнения равен 1.000 для каждой пары. Когда какой метод выбирать, описано в руководстве по факторному анализу.

Максимальное правдоподобие — метод извлечения, исходящий из многомерной нормальности пунктов: он ищет нагрузки, при которых наблюдаемые корреляции наиболее вероятны. Его мера расхождения даёт настоящую проверку модели по χ² (критерий хи-квадрат соответствия модели), а вместе с ней RMSEA, CFI и TLI на той же основе, что в КФА: это тот же принцип, что и у метода оценки КФА по умолчанию. Приложение выводит χ² при любом методе извлечения, вычисляя его по этой же мере для решения, к которому пришёл метод. Поэтому при другом методе χ² описывает соответствие, а не проверяет его. На пунктах кафе χ²(4) = 1.04, p = 0.90. Слабое место метода в том, что на малой выборке или плохо обусловленной матрице он может не сойтись или закончиться случаем Хейвуда там, где метод наименьших квадратов ещё даёт решение.

Факторизация главных осей извлекает факторы из редуцированной корреляционной матрицы по её собственным векторам, как АГК делает это с полной матрицей, а затем повторяет расчёт: общности, следующие из нагрузок, снова ставятся на диагональ, и извлечение запускается заново, пока они не перестанут меняться. Метод не делает допущений о распределении пунктов и обходится без правдоподобия. Поэтому он был традиционным выбором для порядковых пунктов и малых выборок, и именно его большинство учебников называет «факторным анализом». На пунктах кафе все нагрузки совпадают с полученными методом минимального остатка с точностью до 0.01.

Минимальный остаток напрямую минимизирует сумму квадратов остатков (разностей между наблюдаемой корреляцией и воспроизведённой по нагрузкам) по внедиагональной части матрицы, а диагональ может принять ту общность, какая из этого следует. Метод не предполагает никакого распределения, сходится там, где максимальное правдоподобие может не сойтись, и на нём построены факторные решения этой страницы: на пунктах кафе χ²(4) = 1.05, p = 0.90, RMSEA 0, CFI 1.00.

Невзвешенный МНК минимизирует те же квадраты остатков по всей матрице, включая диагональ. На практике это минимальный остаток под другим названием: методы различаются лишь тем, входит ли диагональ в сумму. На пунктах кафе они дают одинаковые нагрузки до последнего знака, так что выбор обоих в диалоге сравнения не будет независимой проверкой.

Взвешенный МНК — критерий наименьших квадратов, в котором каждый квадрат остатка перед суммированием умножается на вес. Вес пары пунктов — произведение их уникальностей, найденных по обратной корреляционной матрице (у каждого пункта это 1 минус его квадрат множественной корреляции). В результате остатки между пунктами, которые остальной набор предсказывает плохо, весят больше, чем между хорошо предсказуемыми. На пунктах кафе метод совпадает с минимальным остатком с точностью до 0.01.

Обобщённый МНК взвешивает матрицу остатков всей обратной корреляционной матрицей, а не только её диагональю. Тогда вес остатка определяется тем, как пункты перекрываются между собой, а не только предсказуемостью каждого пункта. Из критериев наименьших квадратов этот ближе всего к критерию максимального правдоподобия. На пунктах кафе он совпадает с минимальным остатком с точностью до 0.01.

Взвешенный χ² по минимальному объёму выборки — критерий наименьших квадратов, где каждый квадрат остатка взвешен числом наблюдений, по которому вычислена его корреляция. Он рассчитан на матрицу попарных корреляций, где из-за пропущенных ответов у разных пар разный объём выборки: корреляция по 50 наблюдениям сдвигает решение меньше, чем корреляция по 200. Без пропусков у всех пар одно и то же число наблюдений, и метод снова сводится к обычным наименьшим квадратам: на пунктах кафе χ²(4) = 1.04, p = 0.90, а нагрузки отличаются от полученных минимальным остатком не больше чем на 0.01.

Минимальный ранг подбирает общности так, чтобы редуцированная корреляционная матрица оставалась допустимой (без отрицательных собственных значений), а общая дисперсия, не объяснённая оставленными факторами, была как можно меньше. Тогда доля общей дисперсии, которую объясняет данное число факторов, — настоящая доля, а не величина, способная превысить 100%. Это метод для случая, когда интересует именно эта доля. Ему нужен пакет Rcsdp, и в приложении он есть. На пунктах кафе минимальный ранг отличается от остальных методов сильнее всего: нагрузка пункта цена равна 0.67 против 0.64 у минимального остатка, корреляция факторов — 0.38 против 0.39, а два фактора объясняют 44.9% дисперсии против 44.1%.

Альфа-факторизация рассматривает пункты как выборку из более широкого набора вопросов, которые можно было бы задать, а людей считает фиксированными. Она извлекает факторы, которые лучше всего обобщаются на незаданные пункты, то есть факторы с наибольшей α Кронбаха: перед извлечением каждый пункт перемасштабируется по своей общности, а после возвращается к исходному масштабу. На данных без особенностей ответ тот же, что у других методов: на пунктах кафе расхождение с минимальным остатком не больше 0.01. Метод оправдывает себя, когда общности пунктов сильно различаются.

Коэффициент конгруэнтности — мера Такера, показывающая, насколько похож один фактор в двух решениях. Это косинус угла между двумя столбцами нагрузок: 1 для пропорциональных столбцов и 0 для столбцов, у которых нет ничего общего. Знак не учитывается, поскольку отражённый фактор — тот же фактор. Не учитывается и величина нагрузок, поэтому компонента и фактор на одних и тех же пунктах могут дать 0.996, хотя нагрузки компоненты равномерно выше. Коэффициент относится к одному фактору, а не к решению: два метода извлечения могут согласоваться в Еде и разойтись в Обслуживании. Поэтому таблица сравнения в приложении выводит коэффициент для каждого фактора, рядом среднее, а отдельно — наименьшее значение по одному фактору. Лоренсо-Сева и тен Берге (Lorenzo-Seva and ten Berge 2006) предлагают такие границы: 0.95 и выше — тот же фактор, от 0.85 до 0.94 — похожий, ниже 0.85 — разные факторы. Все пары из девяти методов извлечения на данных кафе дают 1.000 по обоим факторам. Если на шаге 1 выбран АГК, сравниваются и его компоненты, и с каждым методом коэффициент лежит от 0.995 до 0.998. Структура чёткая, и метод на ней не важен. Плохая конгруэнтность выглядит так: при одном методе фактор — это Еда, а при другом — пара «вкус и цена», тогда как свежесть перешла к Обслуживанию. Два столбца указывают в разные стороны, и два решения нельзя считать двумя оценками одного и того же. С этим сталкивается исследователь личности, когда пятифакторное решение, подогнанное на новой выборке, даёт четыре фактора выше 0.95 и пятый на уровне 0.70: четыре конструкта воспроизвелись, а один нет.

Факторная нагрузка — корреляция пункта с фактором, если факторы не коррелируют, и регрессионный вес пункта на факторе, если коррелируют. Она показывает, какая часть пункта приходится на фактор. Нагрузки лежат от −1 до 1: вкус с нагрузкой 0.76 на Еду — сильный индикатор, свежесть с 0.59 — приемлемый. Квадрат нагрузки — доля дисперсии пункта, объяснённая фактором: 0.76² = 0.58 для пункта вкус. Нагрузка меньше примерно 0.3 означает, что пункт почти не относится к фактору, и таблица приложения скрывает нагрузки ниже порога отображения, чтобы структура читалась легче. Отрицательная нагрузка означает, что пункт направлен в другую сторону. Пункт медленно, взятый в том виде, в каком на него отвечали участники, нагружен на Обслуживание на −0.61: по модулю так же сильно, как соседние пункты, но с обратным знаком. Это следствие формулировки, а не изъян.

Матрица нагрузок — таблица нагрузок, где строки — пункты, а столбцы — факторы. Это основной результат факторного анализа, и именно её приводят в отчёте. По строкам видно, что измеряет каждый пункт, по столбцам — из чего состоит каждый фактор.

Факторные нагрузки — та же таблица под заголовком, который даёт ей РФА: нагрузки пунктов на факторы.

Нагрузки компонент — та же таблица под заголовком АГК: нагрузки пунктов на компоненты. На тех же пунктах они выше факторных, потому что компонента вбирает и собственную дисперсию пункта.

Матрица паттерна содержит нагрузки как регрессионные веса: вес каждого пункта на каждом факторе при фиксированных остальных факторах. После косоугольного вращения смотреть нужно именно её. Вес 0.03 у пункта вкус на Обслуживании означает, что Обслуживание ничего не добавляет к пункту вкус, когда Еда уже учтена. Эту матрицу приложение и выводит как нагрузки при косоугольном вращении.

Структурная матрица содержит простые корреляции пунктов с факторами. При косоугольном вращении они завышены корреляцией факторов: в структурной матрице вкус коррелирует с Обслуживанием на уровне 0.33, потому что Еда и Обслуживание коррелируют на уровне 0.39, а вкус — пункт Еды. Если факторы не коррелируют, обе матрицы совпадают. Что измеряет пункт, решают по матрице паттерна, а с чем он коррелирует, показывает структурная матрица.

Общность — доля дисперсии пункта, которую объясняют все факторы вместе. Для некоррелированных факторов это сумма квадратов нагрузок пункта, для коррелированных — чуть больше. Общность пункта вкус в двухфакторном решении равна 0.60: 60% разброса ответов на него приходится на удовлетворённость едой, а 40% — на сам пункт. Общность ниже примерно 0.3 означает, что факторы почти не объясняют пункт. У шести пунктов кафе общности лежат от 0.36 (приветливо, медленно) до 0.60. В АГК те же пункты дают от 0.56 до 0.69, поскольку компонента вбирает и собственную дисперсию пункта.

Общности — их столбец, по одной на пункт. Средняя общность (здесь 0.44) — доля суммарной дисперсии пунктов, объяснённая факторами, то есть то же число, что и накопленная объяснённая дисперсия.

Уникальность — 1 минус общность, то есть доля дисперсии пункта, не объяснённая факторами: его собственное специфическое содержание плюс ошибка измерения. Уникальность пункта вкус равна 0.40. В КФА та же величина называется остаточной дисперсией пункта.

Собственное значение — часть суммарной дисперсии пунктов, приходящаяся на один фактор или компоненту и выраженная в единицах одного пункта. У шести пунктов кафе шесть единиц дисперсии, а собственные значения равны 2.44, 1.31, 0.66, 0.58, 0.54 и 0.47, в сумме шесть. На первую компоненту приходится дисперсия 2.44 пункта, на вторую — 1.31, а на каждую из остальных четырёх — меньше одного пункта. На этом целиком построены критерий Кайзера и график каменистой осыпи.

Объяснённая дисперсия — собственное значение в процентах от суммарной дисперсии. Две компоненты объясняют 40.7% и 21.8%, вместе 62.5%. После извлечения и вращения суммы квадратов нагрузок двух факторов, 1.36 и 1.28, составляют 22.7% и 21.4% суммарной дисперсии, вместе 44.1%, а от того, что объясняет решение, — 51.6% и 48.4%. В отчёт идут значения после вращения. Сколько считать «достаточно», зависит от пунктов: для пунктов опросника с их большим собственным шумом обычны 40–60%.

Вращение поворачивает оси факторов, чтобы нагрузки было легче интерпретировать. Решение без вращения помещает как можно больше дисперсии на первый фактор, так что на него нагружены все пункты, а второй фактор их противопоставляет. Если повернуть оси к группам пунктов, у каждого пункта останется одна большая нагрузка и малые на остальных факторах, а общности и соответствие модели данным не изменятся. На пунктах кафе первый фактор без вращения нагружен на все шесть пунктов, по модулю от 0.47 до 0.67 (у пункта медленно −0.48), а после вращения — только на тройку о еде.

Ортогональное вращение сохраняет факторы некоррелированными. Нагрузки тогда — простые корреляции, а результаты легко описать, но за это приходится принудительно обнулять корреляцию между конструктами, которые вполне могут быть связаны. Расплачиваются перекрёстными нагрузками: воспроизвести связанные конструкты двумя ортогональными факторами можно, только нагрузив их пункты на оба фактора. На пунктах кафе варимакс оставляет нагрузки пунктов вкус и свежесть на Обслуживание на уровне 0.18 и 0.28 (средняя сложность 1.13), а облимин, которому разрешено коррелировать факторы, — 0.03 и 0.16 (1.03). Обычный выбор — варимакс.

Косоугольное вращение позволяет факторам коррелировать и сообщает их корреляцию. При облимине Еда и Обслуживание коррелируют на уровне 0.39: удовлетворённость едой и удовлетворённость обслуживанием связаны, и ортогональное вращение это скрыло бы. Для психологических конструктов, которые редко бывают независимы, это лучший выбор по умолчанию, и обходится он лишь необходимостью смотреть две матрицы, как описано выше. Обычный выбор — облимин.

Критерий вращения — функция нагрузок, которую вращение делает как можно меньше или как можно больше. Каждое вращение задаётся своим критерием, и оси поворачивают, пока критерий удаётся улучшить. Каждый критерий по-своему формализует простую структуру: варимакс добивается столбцов с немногими большими нагрузками и многими малыми, квартимакс — строк с одной большой нагрузкой, геомин — хотя бы одной почти нулевой нагрузки в каждой строке, промакс — близости к целевой матрице, где малые нагрузки подавлены. При чёткой структуре критерии согласуются, как и вращения на данных кафе ниже. Если же пункты можно разложить по факторам по-разному, от критерия зависит, какую картину увидит читатель. Когда какой выбирать, описано в руководстве по факторному анализу.

Варимакс — стандартное ортогональное вращение. Оно максимизирует дисперсию квадратов нагрузок внутри каждого фактора, так что у каждого фактора немного больших нагрузок и много малых.

Облимин — стандартное косоугольное вращение: то же самое, но факторы могут коррелировать. Именно оно используется на этой странице.

Квартимакс упрощает строки. Он максимизирует сумму четвёртых степеней нагрузок, которая наибольшая, когда у каждого пункта одна большая нагрузка, а остальные близки к нулю, и при этом не важно, как большие нагрузки распределены между факторами. Известно, что он тяготеет к общему фактору: один столбец, на который нагружены все пункты, делает простой каждую строку. На пунктах кафе при включённой нормализации Кайзера он почти не отличается от варимакса: на два фактора приходится дисперсия 1.35 и 1.30 пункта против 1.36 и 1.29 у варимакса. Без нормализации это тяготение заметно: 1.43 и 1.22.

Эквамакс — компромисс между варимаксом и квартимаксом. Он учитывает простоту и столбцов, и строк, так что дисперсия распределяется между факторами равномернее, чем допускает квартимакс, а общий фактор подавляется сильнее, чем при варимаксе. При двух факторах он совпадает с варимаксом (на пунктах кафе с точностью до 0.01) и расходится с ним по мере роста числа факторов.

Варимин — обращённый варимакс: он минимизирует дисперсию квадратов нагрузок, то есть ищет вращение, при котором каждый пункт нагружен на все факторы как можно равномернее. Он нужен аналитику, чья теория предполагает у пунктов общий фактор, который вращение к простой структуре скрыло бы. На пунктах кафе он возвращает форму решения без вращения: каждый пункт нагружен на первый фактор по модулю от 0.46 до 0.66 (медленно отрицательно), на втором факторе противопоставление от ±0.2 до ±0.4, сложность 1.68. Так выглядит отсутствие простой структуры.

Геомин минимизирует сумму по пунктам среднего геометрического квадратов нагрузок пункта (с небольшой добавкой, чтобы один ноль не обрывал поиск). Эта сумма наименьшая, когда у каждого пункта хотя бы одна нагрузка близка к нулю, и пункт с двумя большими нагрузками критерий не штрафует. Поэтому геомин подходит для шкал, пункты которых должны нагружаться больше чем на один фактор. Это обычный выбор в разведочном моделировании структурными уравнениями и вращение, которое реже других скрывает настоящую перекрёстную нагрузку. Геомин T — ортогональная форма, Геомин Q — косоугольная. На пунктах кафе косоугольная форма даёт те же тройки, что облимин, при корреляции факторов 0.38.

Инвариант Бентлера — критерий инвариантной простоты паттерна, предложенный Бентлером. Он работает с квадратами нагрузок и требует, чтобы профили квадратов нагрузок разных факторов перекрывались как можно меньше, то есть были настолько близки к ортогональным, насколько позволяют данные. Мерой служит отношение определителей, которое не меняется при перемасштабировании нагрузок, отсюда и «инвариант». T-инвариант Бентлера — ортогональная форма, Q-инвариант Бентлера — косоугольная. На практике первая близка к варимаксу, вторая к облимину, и на пунктах кафе форма Q даёт две тройки при корреляции факторов 0.41.

Промакс берёт решение варимакс, возводит каждую нагрузку в степень (в четвёртую, с сохранением знака), так что малые нагрузки стягиваются к нулю, а большие сохраняют свой вес, и находит косоугольное вращение, наиболее близкое к этой цели. Он быстрый и не требует итераций, поэтому был стандартным косоугольным вращением, пока семейство облимин не стало дёшево вычислять. Корреляция факторов у промакса обычно чуть выше, чем у облимина: на пунктах кафе φ = 0.42 против 0.39, а нагрузки совпадают с точностью до 0.02.

Квартимин — косоугольный аналог квартимакса. По каждой паре факторов он минимизирует сумму по пунктам произведений двух квадратов нагрузок, так что пункт с большой нагрузкой на один фактор имеет малую на другой. Это член семейства облимин при γ = 0, и именно его выполняет Облимин в приложении, поэтому оба варианта дают одно и то же решение (на пунктах кафе — до последнего знака).

Симплимакс прямо добивается заданного числа нулей. Он выбирает нагрузки, которые нужно сделать малыми (по умолчанию столько, сколько пунктов), и минимизирует сумму их квадратов. Ищется структура с таким числом почти нулевых нагрузок, а не свойство всей матрицы. На пунктах кафе симплимакс даёт две тройки при корреляции факторов 0.42.

Кластер строит собственную цель: решение варимакс превращается в матрицу из единиц и нулей (каждый пункт относится к фактору, на который нагружен сильнее всего), и нагрузки косоугольно вращаются к ней. Это самое буквальное воплощение простой структуры, где каждый пункт нагружен ровно на один фактор, и лучше всего такое вращение работает там, где пункты действительно распадаются на чёткие группы. На пунктах кафе оно даёт две тройки при корреляции факторов 0.41.

Нормализация Кайзера перед вращением приводит строку нагрузок каждого пункта к единичной длине, а после вращения возвращает прежний масштаб. Так критерий вращения учитывает все пункты одинаково: пункт с низкой общностью влияет на положение осей не меньше, чем пункт с высокой, и оси не определяются одними хорошо измеренными пунктами. Флажок в приложении следует соглашению для выбранного вращения: он отмечен при варимаксе и снят при любом другом вращении. Числа облимина на этой странице получены с нормализацией: у пунктов вкус, свежесть и цена нагрузки 0.76, 0.59 и 0.64, у приветливо, быстро и медленно — 0.58, 0.72 и −0.61, φ = 0.39. Без неё та же подгонка даёт 0.77, 0.60 и 0.65 для первой тройки и 0.58, 0.72 и −0.60 для второй при φ = 0.41, то есть сдвиг не больше 0.02. Сильнее нормализация сказывается при неравных общностях, и на квартимаксе выше видно, какую разницу она может дать.

Простая структура — цель вращения: каждый пункт сильно нагружен на один фактор и слабо на остальные, у каждого фактора свой набор пунктов. Решение для кафе ей отвечает: ни у одного пункта побочная нагрузка не превышает 0.17. То же показывает средняя сложность 1.03 в приложении, ведь сложность 1 означает, что пункт нагружен ровно на один фактор.

Сложность — индекс Хоффмана, показывающий, на сколько факторов нагружен пункт: 1 для пункта, нагруженного ровно на один фактор, 2 для пункта, одинаково нагруженного на два, и промежуточные значения для смешанных случаев. Индекс считают по квадратам нагрузок: квадрат их суммы делят на сумму их квадратов, так что малая побочная нагрузка почти ничего не добавляет. У пункта вкус с нагрузками 0.76 на Еду и 0.03 на Обслуживание сложность 1.00. При варимаксе его нагрузки 0.75 и 0.18 дают 1.12, а у пункта свежесть с 0.61 и 0.28 сложность 1.40. Средняя сложность по пунктам — сводка простой структуры одним числом: 1.03 для решения кафе с облимином, 1.13 при варимаксе и 1.68 без вращения, когда все пункты нагружены на первый фактор, а большинство и на второй. Так одно число показывает, что даёт вращение. Приложение выводит среднюю сложность для каждого числа факторов в таблице сравнения моделей и для выбранного — в разделе Качество решения. Среднее выше примерно 1.2 означает, что решение не простое: либо вращение не подходит к данным, либо пункты действительно измеряют две вещи сразу.

Перекрёстная нагрузка — случай, когда пункт заметно нагружен на два фактора. Ближе всего к этому среди пунктов кафе свежесть с 0.59 на Еду и 0.16 на Обслуживание, но 0.16 — нагрузка небольшая. Настоящая перекрёстная нагрузка, когда обе нагрузки выше примерно 0.3, означает, что пункт касается двух вещей сразу. Такой пункт обычно исключают или переформулируют.

Выраженная нагрузка — нагрузка, достаточно большая, чтобы её учитывать. По соглашению это 0.3 по модулю: при такой нагрузке фактор объясняет около десятой части дисперсии пункта. Эту планку пункт должен преодолеть хотя бы на одном факторе, чтобы войти в решение. Число пунктов, не преодолевших её ни на одном факторе, приложение выводит как Неотнесённые переменные в таблице сравнения моделей и как Переменные без выраженной нагрузки в разделе Качество решения. У пунктов кафе оно равно 0 при любом числе факторов, ведь даже самые слабые пункты, приветливо и медленно, нагружены на Обслуживание на 0.58 и −0.61, а планка относится к модулю нагрузки, каким бы ни был знак. Пункт без выраженной нагрузки измеряет то, чего факторы не охватывают, или вообще ничего, и его первым стоит исключить. Если таких пунктов несколько, решению не хватает фактора или от него требуют объяснить пункты, которые никогда не составляли шкалу. Планка 0.3 фиксирована и включает само значение, и от порога отображения, скрывающего малые нагрузки в таблице, она не зависит. Нагрузка 0.3 по этому правилу значима, но по меркам, описанным для факторной нагрузки, это слабый индикатор: принадлежать фактору и хорошо его измерять — не одно и то же.

Корреляция факторов — корреляция двух факторов при косоугольном вращении или двух латентных переменных в КФА: здесь 0.39 для Еды и Обслуживания и 0.45 в КФА ниже. Она выше корреляции двух средних баллов по тем же пунктам, равной 0.30 (в балле Обслуживания пункт медленно перевёрнут, как его переворачивают при подсчёте балла шкалы). В средних баллах есть ошибка измерения, которая тянет их корреляцию к нулю, а в латентных переменных её нет. Разрыв между наблюдаемой корреляцией 0.30 и латентной 0.45 и есть то, что устраняет поправка на ослабление, и он — одна из главных причин моделировать латентные переменные, а не суммы.

Корреляции факторов — матрица таких корреляций, по одной корреляции факторов на пару. При ортогональном вращении или АГК это единичная матрица, и ничего нового она не показывает.

Факторные оценки — оценки положения каждого человека на каждом факторе, например удовлетворённость участника едой, выраженная числом. Их рассчитывают по ответам на пункты с весами, выведенными из модели. Это оценки, а не наблюдения: модель не определяет их однозначно, поэтому их приходится выбирать методом расчёта оценок. Индекс детерминированности в приложении (0.86 для Еды и 0.84 для Обслуживания при регрессионном методе по умолчанию) — это корреляция оценки с фактором, который она оценивает. Оценки, полученные разными методами по одному решению, расходятся, и их корреляции между собой не обязаны совпадать с корреляциями факторов. Регрессионные оценки кафе коррелируют на уровне 0.51, тогда как факторы — на уровне 0.39, и это та же ошибка оценивания, только увиденная с другой стороны. Вставлять оценки в набор данных стоит, когда дальнейшему анализу нужно число для каждого человека. Если нагрузки похожи, лучше взять простое среднее пунктов: о нём проще сообщить, и оно почти не уступает.

Расчёт факторных оценок — переход от подогнанного решения к числу для каждого человека. На этом шаге есть выбор, потому что модель общих факторов оценок не определяет: фактор задаётся тем, что общего у его пунктов, и с одними и теми же нагрузками, общностями и корреляциями факторов согласуется бесконечно много наборов оценок, как показал Грайс (Grice 2001). Каждый метод расчёта — правило выбора одного из этих наборов. Все методы считают оценку человека как взвешенную сумму его стандартизованных ответов и различаются только весами. Каждое правило обеспечивает одно свойство за счёт другого: регрессионные оценки — наибольшую корреляцию с фактором, оценки Бартлетта — несмещённость, оценки Андерсона — Рубина — нулевую корреляцию между оценками, оценки Тен Берге — точное воспроизведение корреляций факторов. На двухфакторном решении кафе с облимином четыре правила дают оценки Еды и Обслуживания, коррелирующие на уровне 0.51, 0.26, 0.00 и 0.39 при корреляции факторов 0.39. Решение одно, а ответов на вопрос, который модель оставляет открытым, четыре. При одном факторе выбирать не из чего, четыре правила совпадают, и приложение в этом случае всегда использует регрессионный метод. У компоненты ничего этого нет: она — точная взвешенная сумма пунктов, её значения вычисляются, а не оцениваются, и при АГК выбор метода решает лишь, каким свойством будут обладать оценки. Учитель, сохраняющий оценку способности для каждого ученика, и менеджер, сохраняющий оценку вовлечённости для каждого сотрудника, делают тот же выбор, сообщает им об этом программа или нет.

Регрессионные оценки сильнее всех остальных коррелируют с фактором, который представляют. Это метод Терстоуна (Thurstone 1935), выбранный в приложении по умолчанию, и именно его большинство программ называет «факторными оценками». Веса — регрессионные веса фактора на пункты. Их вычисляют по корреляциям пунктов с факторами из структурной матрицы и по корреляционной матрице, поскольку сам фактор не наблюдается и напрямую построить регрессию для него нельзя. Платой за близость к фактору служит смещение. Оценки стянуты к среднему, так что участник с крайним истинным положением получает менее крайнюю оценку, а корреляции оценок между собой задают пункты, а не модель. На пунктах кафе регрессионные оценки Еды и Обслуживания коррелируют на уровне 0.51 при корреляции факторов 0.39, а при варимаксе, где факторы некоррелированы по построению, всё равно коррелируют на уровне 0.15. Эти оценки подходят, когда они нужны сами по себе, чтобы ранжировать людей или строить профили. Если же корреляции или разброс оценок будут приниматься за свойства факторов, лучше выбрать другой метод.

Оценки Бартлетта — несмещённые оценки, предложенные Бартлеттом (Bartlett 1937). Веса подобраны так, что ожидаемая оценка человека равна его истинному положению на факторе, без стягивания к среднему. Каждый пункт взвешивается величиной, обратной его уникальности, так что сильнее всего учитываются пункты, лучше всего объяснённые фактором, а вклад уникальных частей пунктов в оценку делается как можно меньше. Жертвовать приходится небольшой долей детерминированности (0.86 и 0.83 на пунктах кафе против 0.86 и 0.84 у регрессионного метода) и любыми гарантиями относительно корреляций между оценками, которые могут оказаться как ниже корреляции факторов, так и выше. Оценки Бартлетта для кафе коррелируют на уровне 0.26 при корреляции факторов 0.39. Обычно их советуют выбирать, когда оценки станут зависимой переменной или будут сравниваться между группами: там стягивание всех оценок к среднему вредит больше, чем немного лишнего шума.

Оценки Андерсона — Рубина — метод Бартлетта с дополнительным ограничением, которое ввели Андерсон и Рубин (Anderson and Rubin 1956): оценки получаются некоррелированными между собой, каждая со средним 0 и дисперсией 1. Это удобно, когда оценки станут предикторами регрессии, ведь у некоррелированных предикторов нет коллинеарности. Но после косоугольного вращения такое ограничение противоречит модели: модель утверждает, что факторы коррелируют, а оценки — что нет. На пунктах кафе оценки Андерсона — Рубина для Еды и Обслуживания коррелируют на уровне 0.00 при корреляции факторов 0.39, а ограничение обходится потерей детерминированности: 0.84 и 0.80 против 0.86 и 0.84 у регрессионного метода, это наименьшие значения среди четырёх методов. Приложение допускает такое сочетание и предупреждает о нём при косоугольном вращении. Корреляция этих оценок — свойство метода, а не оценка корреляции факторов. То же происходит при АГК, когда компоненты после косоугольного вращения коррелируют: на пунктах кафе их корреляция равна 0.27, а оценки Андерсона — Рубина дают 0.00.

Оценки Тен Берге сохраняют корреляции факторов. Из наборов оценок, согласующихся с решением, выбирается тот, чьи корреляции равны корреляциям факторов модели и который при этом ограничении как можно сильнее коррелирует с факторами. Метод описали Тен Берге, Крейнен, Вансбек и Шапиро (Ten Berge, Krijnen, Wansbeek and Shapiro 1999). На пунктах кафе оценки Еды и Обслуживания коррелируют на уровне 0.39, в точности как факторы, при детерминированности 0.86 и 0.84, совпадающей с регрессионной до второго знака, так что за это свойство здесь ничем не пришлось платить. Этот метод стоит выбрать, когда оценки заменят факторы в анализе, где важны их корреляции (регрессия одних оценок на другие, сравнение профилей), ведь регрессионные оценки завышают корреляцию факторов, а оценки Андерсона — Рубина её стирают. Единственная слабость метода вычислительная: для весов нужно обратить матрицу, построенную из нагрузок и корреляционной матрицы. Если это невозможно, приложение переходит к регрессионным весам и сообщает об этом.

Детерминированность оценок — корреляция рассчитанных оценок с истинным фактором, который они оценивают, по одному числу на фактор для фактически использованного метода расчёта. Её приводят как ρ, а не как квадрат, потому что эмпирические правила сформулированы именно для ρ: общепринятый минимум ρ ≥ 0.80, предпочтительно ρ ≥ 0.90, как пишут Горсач (Gorsuch 1983) и Грайс (Grice 2001). «Детерминированность фактора» в других программах — то же число. Индекс вычисляется по весам выбранного метода, поэтому характеризует оценки из таблицы, а не решение вообще, и меняется при смене метода. На решении кафе с облимином регрессионные оценки дают 0.86 для Еды и 0.84 для Обслуживания, оценки Тен Берге — столько же, оценки Бартлетта — 0.86 и 0.83, оценки Андерсона — Рубина — 0.84 и 0.80. Все методы выше минимума, и ни один не достигает предпочтительной планки: большего три пункта на фактор с общностями от 0.36 до 0.60 не дают. Низкое значение означает, что два участника с очень разным истинным положением могут получить близкие оценки, и всё построенное на сохранённом столбце унаследует эту размытость. Повысить детерминированность могут дополнительные или более качественные пункты, а метод расчёта сильно её не поднимет. При АГК регрессионные оценки дают 1.000, потому что компонента — точная взвешенная сумма пунктов и регрессионные веса восстанавливают её идеально. Так же ведут себя оценки Тен Берге, а оценки Бартлетта и Андерсона — Рубина чуть ниже (0.999 и 0.99 на пунктах кафе), поскольку навязывают свойство, которого у компоненты нет.

Коэффициенты оценок — веса, из которых строятся оценки: по одному на пункт и фактор, применяемые к стандартизованным пунктам. Если умножить каждый пункт на его коэффициент в столбце фактора и сложить произведения, получится оценка человека по этому фактору. По коэффициентам можно заново рассчитать столбец оценок или применить их к новой выборке без повторной подгонки, поэтому матрица коэффициентов — документ, по которому воспроизводится сохранённая оценка. Это не нагрузки, и на нагрузки они не обязаны походить. Нагрузка идёт от фактора к пункту и показывает, какую часть пункта объясняет фактор. Коэффициент идёт в обратную сторону, от пунктов к оценке, и зависит от метода расчёта и от того, насколько пункты перекрываются: пункт, содержание которого уже покрыто другим пунктом, мало добавляет к оценке, как бы хорошо его ни объяснял фактор. Для фактора Еда при регрессионном методе коэффициент пункта вкус равен 0.49, а пункта свежесть — 0.28, тогда как их нагрузки 0.76 и 0.59. Нагрузка пункта свежесть составляет три четверти нагрузки пункта вкус, а вес — чуть больше половины, потому что почти всё, что пункт свежесть добавляет к Еде, уже есть в пункте вкус. Пункты об обслуживании весят в оценке Еды не больше 0.04 в ту или другую сторону, то есть почти ничего. Метод Бартлетта даёт пунктам о еде веса 0.70, 0.38 и 0.37 — другой рецепт для того же фактора. Для описания структуры в отчёт идут нагрузки, а чтобы показать, как рассчитаны оценки, — коэффициенты.

Корреляции оценок — корреляции между сохранёнными столбцами оценок, вычисленные по оценкам в том виде, в каком их дал метод. Это свойство оценок, а не факторов, и по нему проверяют метод. Их сравнивают с корреляциями факторов модели: оценки Тен Берге воспроизводят их в точности, оценки Андерсона — Рубина дают 0, что бы ни утверждала модель, а регрессионные оценки и оценки Бартлетта не делают ни того, ни другого. При косоугольном вращении их корреляции примерно следуют корреляциям факторов, а при ортогональном остаётся некоторая корреляция там, где у факторов её нет. На решении кафе с облимином, где Еда и Обслуживание коррелируют на уровне 0.39, корреляции оценок составляют 0.51 у регрессионных оценок, 0.26 у оценок Бартлетта, 0.00 у оценок Андерсона — Рубина и 0.39 у оценок Тен Берге, а при варимаксе регрессионные оценки всё равно коррелируют на уровне 0.15. Разрыв между корреляцией оценок и корреляцией факторов — та же неопределённость, увиденная с другой стороны. Поэтому корреляция двух сохранённых столбцов, вычисленная позже, не оценивает корреляцию конструктов, а корреляция факторов модели оценивает. При АГК регрессионные оценки и оценки Тен Берге в точности воспроизводят корреляции компонент (на пунктах кафе 0.27), оценки Андерсона — Рубина дают 0, а оценки Бартлетта близки к корреляциям компонент, но совпадать с ними не обязаны.

Случай Хейвуда — решение с невозможным значением: общностью больше 1 или отрицательной остаточной дисперсией. Это значит, что модель не подходит к данным или выборка для неё слишком мала: извлечено слишком много факторов, пункт почти повторяет другой или пунктов на фактор слишком мало. Метод извлечения, который держит все остаточные дисперсии выше небольшого минимума, невозможного значения не покажет: общность остановится чуть ниже 1, а остаточная дисперсия упрётся в этот минимум, и это тот же случай, только с другой стороны. Приложение отмечает его в обоих видах. Исправляют его другим числом факторов или другим набором пунктов, а не другим вращением.

Можно ли факторизовать пункты? #

Факторный анализ подгоняют к корреляционной матрице, и не всякую матрицу можно факторизовать. Прежде чем выбирать число факторов, приложение проверяет четыре условия: у пунктов достаточно общей дисперсии, чтобы существовали общие факторы; матрица внутренне согласована; ни один пункт не повторяет другие и не складывается из них; за корреляциями стоит достаточно наблюдений. Шесть пунктов кафе проходят все четыре проверки, поэтому числа этого раздела показывают, как выглядит здоровая матрица, а нарушения описаны словами.

KMO — мера адекватности выборки Кайзера — Мейера — Олкина. Она показывает, достаточно ли у пунктов общей дисперсии, чтобы факторный анализ имел смысл: это доля корреляций между пунктами, которая не сводится к частным корреляциям между ними. Мера лежит от 0 до 1, и обычный минимум — 0.6. Пункты кафе дают 0.73 в целом и от 0.70 до 0.76 по отдельным пунктам: приемлемо и типично для короткой шкалы. Низкая KMO отдельного пункта указывает на пункт, который ни с чем не коррелирует и не принадлежит ни одному фактору.

Критерий сферичности Бартлетта проверяет, не является ли корреляционная матрица единичной, то есть не лишены ли пункты всякой корреляции (тогда факторизовать нечего). На пунктах кафе гипотеза отвергается, χ²(15) = 229.1, p < 0.001, и отвергается она почти на любых реальных данных сколько-нибудь заметного объёма. Поэтому пройденный критерий — необходимое условие, но никогда не свидетельство того, что анализ корректен. Содержательная мера — KMO.

Корреляция антиобраза — частная корреляция двух пунктов при фиксированных остальных, взятая с обратным знаком. В хорошо факторизуемом наборе такие корреляции в основном малы, ведь общее у двух пунктов проходит через фактор. Большая корреляция антиобраза указывает на пару пунктов, у которых есть что-то общее только для них двоих: у кафе самая большая у пунктов вкус и свежесть, −0.36. На диагонали стоит собственная KMO каждого пункта.

Ковариация антиобраза — ковариационная форма корреляции антиобраза, то есть та же матрица до стандартизации. На её диагонали — дисперсия антиобраза каждого пункта: доля пункта, которую остальные пункты не предсказывают, равная 1 минус его квадрат множественной корреляции. Малое значение указывает на пункт, большая часть которого общая с набором, и именно такой пункт стоит факторизовать. У пунктов кафе значения лежат от 0.64 (вкус, предсказуемый лучше всех) до 0.77 (медленно). Вне диагонали стоит то, что остаётся от связи пары после исключения всех остальных пунктов, и эти значения должны быть близки к нулю. У кафе самое большое из них у пунктов вкус и свежесть, −0.24: это та же пара, которой корреляционная форма даёт −0.36. Если разделить каждую ячейку на квадратные корни двух соответствующих диагональных элементов, получится корреляционная форма, диагональ которой приложение затем заменяет на KMO пунктов. Обе формы требуют обратить корреляционную матрицу, поэтому для сингулярной матрицы ни одна из них не выводится.

Положительная определённость — свойство, которым должна обладать корреляционная матрица, чтобы её корреляции были согласованы между собой: все собственные значения больше нуля. Если первый из трёх пунктов коррелирует с двумя другими на уровне 0.9, то эти два не могут коррелировать между собой на уровне −0.9: таких наборов чисел не бывает, и у матрицы, которая это утверждает, есть отрицательное собственное значение. То же, только менее заметно, случается, когда матрицу собирают по парам из разных подмножеств наблюдений или оценивают каждую пару отдельно, как при полихорических корреляциях. Проверяют наименьшее собственное значение. У пунктов кафе оно равно 0.47, то есть положительно с запасом, и карточка пригодности приложения сообщает Матрица положительно определена. Сравнение идёт с небольшим допуском, а не с нулём, так что почти сингулярная матрица проверку не проходит. Такую матрицу перед извлечением сглаживают те методы, которые могут работать с результатом, а максимальное правдоподобие, альфа-факторизация и минимальный ранг работать с ней не могут и от неё отказываются.

Сглаживание — исправление корреляционной матрицы, которая не является положительно определённой. Собственные значения, равные нулю или меньше, поднимают до небольшого положительного значения, а матрицу собирают заново и перемасштабируют, чтобы она снова стала корреляционной, с единицами на диагонали. Затем извлечение идёт по сглаженной матрице. Цена в том, что подгоняемые корреляции уже не совсем совпадают с наблюдаемыми. Они близки, поскольку меняется лишь невозможная часть, но нагрузки, индексы соответствия и все последующие карточки описывают исправленную матрицу, о чём приложение сообщает над каждой из них. Сглаживание исправляет числа, а не причину: пункт, из-за которого матрица стала сингулярной, остаётся таким же избыточным, и назовёт его проверка ранга. Приложение сглаживает матрицу для всех методов извлечения, которые могут использовать результат, а максимальное правдоподобие, альфа-факторизация и минимальный ранг вместо этого останавливаются. Матрице кафе сглаживание не нужно.

Сингулярная матрица — корреляционная матрица, где одна переменная в точности воспроизводится комбинацией других: суммарный балл рядом со своими слагаемыми, разность рядом с двумя числами, из которых её получили, пункт, введённый дважды. Её определитель равен нулю, одно из собственных значений тоже, обратной матрицы у неё нет, и при этом выглядеть подозрительно она не обязана. Сумма пяти пунктов коррелирует с каждым из них лишь на уровне 0.5–0.7, так что все попарные корреляции остаются умеренными, а матрицу в целом факторизовать нельзя. Поэтому приложение проверяет ранг напрямую, а не доверяет попарным корреляциям, и помечает KMO и критерий Бартлетта, которым нужна обратная матрица, как Ненадёжно (сингулярная матрица). По той же причине не выводятся частные корреляции антиобраза. Пункты кафе — шесть ответов на шесть разных вопросов, и их матрица не сингулярна. А вот учитель, факторизующий баллы за разделы экзамена вместе с общим баллом, или менеджер, включивший индекс вовлечённости рядом с усреднёнными в нём пунктами, получают именно такую матрицу.

Ранг матрицы — число переменных корреляционной матрицы, содержащих собственную информацию, то есть столбцов, которые нельзя восстановить из остальных. У здоровой матрицы ранг полный, по одному на переменную: у шести пунктов кафе ранг 6. Ранг меньше числа переменных означает сингулярную матрицу, а недостача показывает, сколько переменных избыточны: у пяти пунктов и их суммы ранг 5. Приложение вычисляет ранг на карточке пригодности, а если он неполный, называет каждую избыточную переменную вместе с переменными, из которых она воспроизводится, в виде Сумма ← Пункт A, Пункт B, Пункт C. Как исправить дело (удалить сумму и оставить её слагаемые), видно прямо из предупреждения. Это то же условие, которое среди предикторов регрессии называют мультиколлинеарностью, только доведённое до предела, и лечится оно так же.

Детерминант корреляционной матрицы — одно число, которое показывает, насколько матрица далека от сингулярности: произведение её собственных значений. Он равен 1, когда все корреляции нулевые, 0 для сингулярной матрицы и тем меньше, чем сильнее перекрываются пункты. Шесть пунктов кафе дают 0.31, далеко от нуля. Но оценивать детерминант нужно с учётом числа пунктов: он уменьшается с каждой добавленной переменной, какими бы ни были данные. Пункты, попарно коррелирующие на уровне 0.3, дают 0.42 при шести пунктах, 0.0003 при тридцати и 0.00001 при сорока. Поэтому фиксированную планку вроде предложенной Филдом 0.00001 пересекает любой опросник из сорока пунктов, есть в нём избыточность или нет. Приложение сообщает число и планку, но вывод Обнаружена мультиколлинеарность делает, только если его подтверждает проверка, не зависящая от числа пунктов: ранг, пара с корреляцией выше 0.9 или квадрат множественной корреляции выше 0.99.

Отношение наблюдений к переменным — число полных наблюдений на пункт: у кафе 200 участников на шесть пунктов, то есть 33 к 1. По этому числу приложение судит, достаточно ли велика выборка, чтобы доверять корреляциям. Эмпирических правил много, и они расходятся: 50 наблюдений как абсолютный минимум, 5 или 10 на пункт, 300 для устойчивого решения. Приложение сравнивает отношение с самым мягким из них (Слишком малая выборка при менее чем 50 наблюдениях, Ниже рекомендуемого 5:1 при менее чем пяти на пункт), потому что нужный факторному анализу объём выборки определяет сила структуры, а не какое-либо отношение. Как показали Мак-Каллум, Видаман, Чжан и Хонг (MacCallum, Widaman, Zhang and Hong 1999), пункты с общностями около 0.7 восстанавливают свои факторы на сотне наблюдений, а пунктам с общностями около 0.3 нужно несколько сотен, чтобы на второй выборке получилось то же самое. Высокое отношение не делает слабую структуру устойчивой, а скромное не портит сильную: лучшие ориентиры — KMO и величина нагрузок.

Сколько факторов #

Число факторов решает аналитик, а приложение предлагает несколько правил, которые часто расходятся. На пунктах кафе правило собственных значений больше единицы и его эмпирическая поправка, параллельный анализ в обоих вариантах, метод выпуклой оболочки и VSS₁ дают два фактора. MAP Велицера даёт один, локоть и VSS₂ — три. Такое расхождение — не сбой. Второй фактор настоящий (две группы видны в корреляциях), но небольшой, и правило, построенное так, чтобы не извлекать лишнего, останавливается на одном. Локоть учитывает только форму кривой и обычно даёт на один фактор больше, а у VSS₂ на шести пунктах есть лишь два варианта на выбор. Опрос составлялся в расчёте на две шкалы, и двухфакторное решение согласуется с данными, а однофакторное нет (сравнение моделей), так что факторов два. Когда правила расходятся, решают теория и соответствие модели данным.

График каменистой осыпи показывает собственные значения по порядку, начиная с наибольшего. Кривая круто падает, пока каждый фактор улавливает настоящую структуру, и выполаживается, когда оставшиеся факторы — уже шум. Число факторов определяют по излому. На пунктах кафе линия падает с 2.44 до 1.31 и 0.66, а дальше медленно сползает, так что излом приходится на третье значение.

Локоть — этот излом, точка, где требуется суждение аналитика. Приложение находит его как точку кривой, наиболее удалённую от прямой, проведённой от первого собственного значения к последнему, отмечает её увеличенным маркером и сообщает её номер как число факторов. На пунктах кафе это третье собственное значение, на один фактор больше, чем дают правило Кайзера и параллельный анализ. Это типично: угол кривой, которая падает и затем выполаживается, обычно приходится на первую пологую точку. Поэтому при чёткой структуре локоть завышает число факторов на один и служит проверкой других правил, а не самостоятельным правилом.

Критерий Кайзера оставляет все компоненты с собственным значением больше 1, то есть больше дисперсии одного пункта: фактор, объясняющий меньше одного пункта, держать не стоит. На пунктах кафе он даёт два фактора (2.44 и 1.31 выше единицы, 0.66 ниже). Известно, что на больших наборах пунктов он завышает число факторов, поскольку в любой конечной выборке первые собственные значения чистого шума тоже больше 1. Критерий применяют к собственным значениям самой корреляционной матрицы и никогда к редуцированному ряду, среднее которого меньше 1. Приложение рисует его планку пунктирной линией на уровне 1 на графике каменистой осыпи. Эмпирический критерий Кайзера — то же правило с планкой, поправленной на объём выборки.

Эмпирический критерий Кайзера — правило Кайзера, в котором планка 1 заменена опорным собственным значением для каждой позиции, выведенным из того, что дали бы случайные данные с тем же числом наблюдений и пунктов. Его предложили Брекен и ван Ассен (Braeken and van Assen 2017). Чистый шум не даёт собственных значений ровно 1: в конечной выборке наибольшее из них превышает 1 тем сильнее, чем меньше наблюдений приходится на пункт. Поэтому ровная планка оставляет шумовые факторы, а опорные значения это исправляют. Первое опорное значение — потолок шума при данном объёме выборки (1.38 для 200 наблюдений и шести пунктов), а каждое следующее — тот же потолок, пересчитанный с учётом дисперсии, уже занятой предыдущими факторами, но не ниже единицы Кайзера. На пунктах кафе второе и все последующие опорные значения равны ровно 1.00. Факторы оставляют до первого, не прошедшего свою планку: 2.44 больше 1.38, 1.31 больше 1.00, а 0.66 нет, так что факторов два. Здесь это столько же, сколько у Кайзера, поскольку второе собственное значение кафе с запасом выше обеих планок. На большом наборе пунктов со слабой структурой критерий оставляет меньше факторов, чем Кайзер, и там его результат предпочтительнее. Моделирования он не требует, применяется к тому же ряду, что и критерий Кайзера, и приложение рисует его планку коричневой пунктирной линией на графике каменистой осыпи.

Параллельный анализ сравнивает каждое собственное значение с собственными значениями случайных данных того же размера (столько же наблюдений, столько же пунктов и никакой структуры) и оставляет фактор, лишь пока реальное собственное значение превышает 95-й процентиль случайных. Метод предложил Хорн (Horn 1965). В классическом варианте нормальные данные моделируются заново для каждой из ста выборок (так по умолчанию и в приложении), и приложение сообщает результат как Параллельный анализ (имитационные данные). На пунктах кафе опорные значения для первых трёх позиций равны 1.33, 1.18 и 1.08: реальные 2.44 и 1.31 их превышают, а 0.66 нет, так что факторов два. Когда другие правила расходятся, предпочтение стоит отдать этому, потому что оно проверяет именно то, что нужно (больше ли фактор, чем дал бы случай), а не применяет фиксированный порог. Приложение выполняет его дважды: с моделированными данными и с данными повторной выборки.

Параллельный анализ по данным повторной выборки — то же правило с другими случайными данными. Вместо моделирования нормальных данных приложение перемешивает столбец ответов каждого пункта независимо от остальных. Это разрушает все корреляции, но сохраняет распределение каждого пункта в точности таким, как в данных: асимметрию, повторяющиеся значения, упор в нижнюю или верхнюю границу шкалы 1–5. Метод описали Буя и Эйюбоглу (Buja and Eyuboglu 1992). Оба варианта проверяют одно и то же на разных искусственных данных и расходятся там, где распределения пунктов асимметричны или имеют мало градаций. Пятибалльный пункт, на который большинство отвечает 4 или 5, даёт случайные корреляции такой величины, какой нормальные данные не дадут никогда. Поэтому опорные значения по перемешанным данным выше, и факторов остаётся меньше, так что для порядковых и асимметричных пунктов этот вариант предпочтительнее. На пунктах кафе, с симметричными ответами по шкале 1–5, оба варианта совпадают: на уровне 95-го процентиля опорные значения по моделированным данным равны 1.33, 1.18 и 1.08, по перемешанным — 1.31, 1.19 и 1.09, и оба дают два фактора. Приложение приводит два результата рядом как Параллельный анализ (имитационные данные) и Параллельный анализ (данные повторной выборки).

Два ряда собственных значений есть у разведочного факторного анализа, тогда как у АГК ряд один. Собственные значения корреляционной матрицы (на пунктах кафе 2.44, 1.31, 0.66, 0.58, 0.54 и 0.47, в сумме шесть) описывают суммарную дисперсию пунктов. Собственные значения редуцированной корреляционной матрицы (1.73, 0.58, −0.09, −0.15, −0.19 и −0.20) описывают общую дисперсию, с которой работает извлечение, и отрицательный хвост у них обычен. Каждое правило применяется к тому ряду, для которого определено. Критерий Кайзера и эмпирический критерий Кайзера — планки, отсчитанные от среднего собственного значения матрицы с единицами на диагонали, поэтому они берут первый ряд: на редуцированном планка Кайзера оставила бы один фактор. Параллельный анализ берёт тот ряд, с которым работает извлечение, и сравнивает его со случайными данными, редуцированными так же. При факторном методе редуцированные 1.73, 0.58 и −0.09 сравниваются с редуцированными опорными значениями 0.36, 0.21 и 0.10, и по любому ряду факторов два. Локоть определяется по кривой в том виде, в каком она нарисована, вместе с хвостом. При факторном методе график каменистой осыпи в приложении рисует редуцированный ряд синим, а ряд корреляционной матрицы серым позади него, и таблица сравнения моделей приводит оба как Собственное значение и λ (корреляционная матрица). При АГК ряд один и кривая одна.

Метод выпуклой оболочки — правило выбора числа факторов, которое опирается на подогнанные решения, а не на собственные значения. Его предложили Лоренсо-Сева, Тиммерман и Кирс (Lorenzo-Seva, Timmerman and Kiers 2011). Подгоняются все числа факторов, которые модель может идентифицировать, от нуля до предела, и каждое решение описывается двумя числами: какую часть корреляций оно воспроизводит и сколько степеней свободы на это потрачено. Решения, которые не улучшают соответствие по сравнению с более простыми, отбрасываются. Остаётся верхняя огибающая, та самая выпуклая оболочка, которая круто поднимается, пока каждый фактор даёт реальный прирост соответствия, и выполаживается, когда прироста нет. Число факторов в точке самого резкого поворота огибающей и есть рекомендация: последний фактор, который окупил свою цену приростом соответствия. На пунктах кафе это два. Один фактор воспроизводит корреляции плохо, а три, насыщенное число, воспроизводят их идеально по построению и ничего не приобретают за свои параметры. Это тот же локоть графика осыпи, только применённый к соответствию, а не к собственным значениям, и найденный вычислением, а не на глаз. Поскольку метод учитывает экономность модели, он может остановиться раньше параллельного анализа, если второй фактор настоящий, но небольшой. Метод определён только для общих факторов (при АГК приложение его не выполняет) и не выводится, когда у огибающей нет точки поворота.

MAP Велицера (минимальная средняя частная корреляция) выясняет, что остаётся между пунктами после исключения k компонент. Из каждого пункта исключают первые k компонент, а оставшиеся частные корреляции возводят в квадрат и усредняют. Пока исключаемые компоненты настоящие, каждая забирает общую дисперсию, и среднее падает. Когда начинается шум, каждая следующая компонента забирает уже часть собственной дисперсии какого-то пункта, и среднее растёт. Рекомендуется число факторов, при котором достигается минимум. На пунктах кафе среднее равно 0.081 после одной компоненты, 0.102 после двух и 0.211 после трёх, так что MAP даёт один фактор: второй фактор настоящий, но небольшой, а правило, построенное так, чтобы останавливаться до шума, останавливается и перед ним. MAP опирается на остаток, а не на собственные значения, и поэтому служит независимой проверкой параллельного анализа. Известно, что MAP склонен занижать число факторов, а критерий Кайзера — завышать. Приложение вычисляет MAP для каждого числа, которое модель может идентифицировать, и выделяет минимум полужирным в таблице сравнения моделей.

Очень простая структура — правило выбора числа факторов, которое выясняет, насколько хорошо решение воспроизводило бы корреляции, если бы каждому пункту оставили только его наибольшую нагрузку (или две наибольшие), а остальные обнулили. Правило предложили Ревелл и Роклин (Revelle and Rocklin 1979). Такое упрощённое решение и видит читатель таблицы нагрузок, и число факторов подходит для него, пока добавление фактора ещё улучшает то, что воспроизводят упрощённые нагрузки. VSS₁ оставляет одну нагрузку на пункт, VSS₂ — две, и каждый показатель — доля корреляций, воспроизведённая упрощённым решением, от 0 до 1. Рекомендуется число факторов, при котором достигается максимум. На пунктах кафе VSS₁ равен 0.61, 0.68 и 0.64 для одного, двух и трёх факторов, то есть рекомендует два. VSS₂ при одном факторе не определён, при двух равен 0.78, при трёх 0.80. Три — насыщенное число, при котором любое решение воспроизводит всё. У критерия, вычислимого лишь для двух чисел факторов, нет места для пика. Поэтому на шести пунктах результат VSS₂ ненадёжен. Правило рассчитано на более длинные шкалы, где VSS₂ обычно достигает максимума там же, где VSS₁, или на один фактор дальше. Приложение вычисляет оба показателя при вращении варимакс, поскольку критерий измеряет именно простую структуру, и выделяет максимум каждого столбца полужирным в таблице сравнения моделей.

Один общий фактор и несколько специфических #

Коррелированные факторы ставят ещё один вопрос. Еда и Обслуживание коррелируют на уровне 0.39, и корреляцию двух факторов можно истолковать как фактор над ними: удовлетворённость кафе в целом, которая проходит через все шесть пунктов, а еда и обслуживание — то, что каждая тройка измеряет сверх неё. Две модели такой структуры выражают одно утверждение с противоположных концов, и связывает их преобразование Шмида — Леймана. Коэффициенты, показывающие, чего стоит общий фактор (иерархическая омега и омеги подшкал), описаны на странице о надёжности. Числа ниже относятся к двухфакторному решению кафе с облимином, для которого в модуле факторного анализа отмечен флажок Преобразование Шмида — Леймана.

Бифакторная модель — модель, в которой каждый пункт нагружен на один общий фактор, объединяющий все пункты, и на один групповой фактор, объединяющий только его группу. Групповые факторы не коррелируют ни с общим фактором, ни друг с другом, так что дисперсия каждого пункта делится на три части: общее со всеми пунктами, общее со своей группой и собственное. Такую структуру обычно и закладывают в шкалу с подшкалами. Это тест способностей, вербальный, числовой и пространственный разделы которого опираются на общую способность, или опрос об удовлетворённости, где пункты о еде и об обслуживании опираются на удовлетворённость заведением. В модуле факторного анализа такую модель за один шаг подгоняет вращение Бифакторное, а Биквартимин (косоугольный бифакторный) — вариант, в котором групповые факторы могут коррелировать. Та же пара вращений есть в модуле IRT. Обоим нужен один фактор для общего измерения и не меньше двух для групп, а на шести пунктах кафе три фактора — это граница Ледермана. Подгонка за один шаг насыщена и вообще не даёт общего столбца: один столбец приходится на тройку о еде, один на тройку об обслуживании и один только на пункт цена (0.77). Поэтому приложение оставляет столбцы пронумерованными и сообщает, что общий фактор выделить не удалось. К тому же общность пункта цена равна 0.995, а его остаточная дисперсия упирается в минимум извлечения: это случай Хейвуда. Та же подгонка с перевёрнутым пунктом медленно, напротив, после вращения даёт общий столбец. У критерия здесь несколько минимумов, и в какой из них попадёт вращение, зависит от начальной точки: иерархию пытаются выделить на меньшем числе пунктов, чем нужно, чтобы её закрепить. Преобразование Шмида — Леймана приходит к той же структуре от двухфакторного решения, и для кафе это правильный путь.

Общий фактор — фактор, на который нагружены все пункты. В бифакторном решении и решении Шмида — Леймана его столбец подписан g, и именно его измеряет суммарный балл по всем пунктам: сумма целиком учитывает то, что у пунктов общего со всеми, а специфическую часть каждой группы — лишь пропорционально. Нагрузки общего фактора показывают, какая часть каждого пункта приходится на общее измерение. В преобразованном решении кафе g нагружен на шесть пунктов по модулю от 0.34 до 0.50 (медленно отрицательно, −0.38), сильнее всего на вкус и свежесть, слабее всего на цена. Строка общего фактора в разложении дисперсии, 1.09 из 2.65 единицы общей дисперсии, — его доля, то есть объяснённая общая дисперсия, равная 0.41. Чего стоит общий фактор, рассматривается на странице о надёжности. Иерархическая омега, здесь 0.44, — доля суммарного балла, приходящаяся на g. Коэффициент H, 0.58 для g кафе против 0.53 и 0.50 для групповых факторов, показывает, насколько хорошо его восстановила бы оптимально взвешенная комбинация пунктов. Шести пунктов не хватает, чтобы хорошо определить хоть один из трёх факторов, и это цена короткого опроса. При прямом бифакторном вращении приложение считает общим фактором столбец, нагруженный на пункты широко и с одним знаком, и подписывает его g. Если такого столбца нет, столбцы остаются пронумерованными и g не выделяется.

Групповой фактор — фактор одной группы пунктов (тройки о еде, тройки об обслуживании), отражающий то, что у группы общего сверх общего фактора. В бифакторном решении и решении Шмида — Леймана он ортогонален g и другим групповым факторам, так что его нагрузки — это только специфическая часть группы. Приложение нумерует групповые факторы F1, F2 … рядом с g. В преобразованном решении кафе групповой фактор еды нагружен на вкус, свежесть и цена на 0.60, 0.46 и 0.50, а фактор обслуживания на приветливо, быстро и медленно — на 0.45, 0.55 и −0.46, и ни одна нагрузка вне своей тройки не превышает 0.11. У каждой тройки остаётся специфическая часть примерно того же размера, что и общая, поэтому Еду и Обслуживание имеет смысл оценивать по отдельности, а насколько надёжно, показывает пара омег подшкал. Групповой фактор, все нагрузки которого ниже порога отображения (пустой столбец в таблице иерархических нагрузок), поглощён общим фактором: у группы не нашлось ничего своего. Обычно это лечится уменьшением числа факторов на один, а не снижением порога. Общий фактор, рядом с которым не осталось ни одного группового, означает одномерную шкалу, и два индекса ниже показывают, насколько шкала к этому близка.

Иерархическая факторная модель описывает ту же структуру с другого конца. Пункты нагружены только на факторы первого порядка, Еду и Обслуживание, а эти факторы коррелируют, потому что их корреляцию объясняет стоящий над ними фактор второго порядка. Именно так естественно истолковать косоугольное решение: корреляция 0.39 между Едой и Обслуживанием в этой модели равна произведению их нагрузок на фактор второго порядка. Модель второго порядка — это бифакторная модель с дополнительным ограничением: общая нагрузка каждого пункта равна его нагрузке первого порядка, умноженной на нагрузку его фактора на фактор второго порядка. Прямое бифакторное вращение такой пропорциональности не требует, как показали Юнг, Тиссен и Маклеод (Yung, Thissen and McLeod 1999). Так что обе модели выражают одну гипотезу, только с разной степенью ограничений, а преобразование Шмида — Леймана — арифметика, которая переводит модель второго порядка в прямую форму. Иерархии, в отличие от обычного косоугольного решения, нужно достаточно факторов первого порядка. Два фактора дают одну корреляцию, по которой надо оценить две нагрузки второго порядка, поэтому при двух группах иерархия сама по себе не идентифицирована, а при трёх её уже можно опровергнуть данными. Опросник благополучия из трёх шкал (сон, настроение и энергия, а над ними общее благополучие) — наименьший полностью идентифицированный случай. Две шкалы кафе показывают, как толковать такую структуру, но не дают полной модели.

Преобразование Шмида — Леймана — арифметика, которая превращает решение второго порядка в прямые общие и групповые нагрузки. Его предложили Шмид и Лейман (Schmid and Leiman 1957). Сначала пункты подвергают косоугольному факторному анализу, затем проводят однофакторный анализ корреляционной матрицы самих факторов. Общая нагрузка каждого пункта равна его нагрузке первого порядка, умноженной на нагрузку второго порядка его фактора, а групповая — нагрузке первого порядка, умноженной на квадратный корень из того, что остаётся, то есть из части фактора, которую общий фактор не объясняет. В приложении это флажок Преобразование Шмида — Леймана при косоугольном вращении РФА. Это отдельная подгонка, а не перестановка уже показанных нагрузок: функция omega() пакета psych заново извлекает и вращает решение, прежде чем его преобразовать. Поэтому иерархические нагрузки могут немного отличаться от основных, а у карточки есть собственные предупреждения о нормализации, замене вращения или сходимости, а также о любом пункте, который omega() перевернула перед расчётом коэффициентов. Здесь это медленно, чьи нагрузки карточка всё равно показывает в его собственном направлении. На двухфакторном решении кафе с облимином каждый фактор первого порядка нагружен на общий фактор на 0.64, то есть на квадратный корень из их корреляции, которая в ненормализованном вращении, используемом преобразованием, равна 0.41. Поэтому нагрузка 0.77 пункта вкус на Еду превращается в 0.50 на g и 0.60 на групповой фактор еды, а в целом g нагружен на пункты по модулю от 0.34 до 0.50, групповые факторы на свои тройки — от 0.45 до 0.60. Строки общего и групповых факторов в разложении дисперсии, 1.09 и 0.81 + 0.74, в сумме дают 2.65, то есть сумму общностей, потому что ни у одного пункта нет перекрёстной нагрузки. При перекрёстных нагрузках эти итоги немного расходятся. Два групповых фактора — предел идентификации: имея одну корреляцию факторов, omega() приравнивает две нагрузки второго порядка, и приложение об этом сообщает. Поэтому на кафе видно, что делает преобразование, а для проверяемой иерархии нужны три групповых фактора. Факторные оценки Шмида — Леймана — факторные оценки преобразованного решения: столбец g и по одному на каждый групповой фактор. Поскольку общая и групповая нагрузки каждого пункта пропорциональны по построению, это наименее детерминированные оценки из всех, что даёт модуль: на пунктах кафе 0.67 для g и 0.69 и 0.66 для групповых факторов, ниже 0.80, которых требует эмпирическое правило.

Объяснённая общая дисперсия — доля общего фактора в общей дисперсии: сумма квадратов его нагрузок, делённая на сумму квадратов всех нагрузок, общих и групповых вместе. Это ответ одним числом на вопрос, какая часть того, что у пунктов общего, приходится на что-то одно. Считается она только по общей дисперсии: у шести пунктов кафе её 2.65 единицы, а не шесть, так что об уникальности разложение ничего не сообщает. Строка общего фактора, 1.09, даёт ECV 0.41, а групповые факторы еды и обслуживания — 0.31 и 0.28. Доля каждого группового фактора — его собственная ECV, и три доли в сумме дают 1. Высокая ECV означает, что суммарный балл оправдан, а подшкалы мало что к нему добавляют. Низкая, как здесь, означает, что подшкалы содержат собственную информацию, и для опроса, составленного, чтобы измерять еду и обслуживание по отдельности, так и задумано. Приложение делит ECV на три диапазона (Существенная многомерность ниже 0.50, Умеренная многомерность до 0.70, Фактическая одномерность от 0.70), но последний вывод делает, только если с ним согласен PUC не ниже 0.80 или иерархическая омега не ниже 0.70. ECV, вычисленная на матрице с малым числом незагрязнённых пар, преувеличивает одномерность, как показали Родригес, Райс и Хэвиленд (Rodriguez, Reise and Haviland 2016). Порог 0.70 в приложении строже, чем 0.60 из опубликованного эмпирического правила.

Процент незагрязнённых корреляций — доля пар пунктов, относящихся к разным групповым факторам. Корреляция в такой паре отражает только общий фактор, а два пункта одной группы коррелируют ещё и через свой групповой фактор, и по их корреляции одно от другого не отделить. Шесть пунктов дают пятнадцать пар: три лежат внутри тройки о еде, три внутри тройки об обслуживании, а девять связывают пункты из разных троек, то есть 60%. Это и есть PUC кафе, 0.60. Каждый пункт относится к групповому фактору, на который нагружен сильнее всего, и приложение определяет это по данным, а не по ключу подшкал. PUC рассматривают вместе с ECV: доля общего фактора получается завышенной, когда мало пар способны выявить групповой фактор, поэтому высокая ECV при низком PUC преувеличивает одномерность. Только при PUC от 0.80 ECV можно доверять самой по себе, как показали Родригес, Райс и Хэвиленд (Rodriguez, Reise and Haviland 2016). Ниже этого приложение, прежде чем признать шкалу одномерной, требует согласия иерархической омеги. PUC растёт с числом групп, а не с их длиной. При двух группах он никогда не превышает двух третей и по мере удлинения шкал снижается к половине. Три шкалы по три пункта дают 0.75, десять по три — 0.93. Поэтому опросник со многими подшкалами можно оценивать по ECV, а две шкалы по три пункта нельзя.

Подтверждение структуры: КФА и МСУ #

Разведочный анализ выясняет по данным, какова структура. Конфирматорный заранее формулирует структуру и проверяет, согласуются ли с ней данные. Этот шаг стоит делать всякий раз, когда у шкалы есть задокументированная структура, и именно он делает возможными индексы соответствия: только о модели, которая могла не подойти, имеет смысл говорить, что она подошла.

Конфирматорный факторный анализ подгоняет измерительную модель, которую записывает аналитик (какие пункты нагружены на какой фактор, и ничего больше), и наряду с нагрузками сообщает, насколько хорошо модель воспроизводит корреляции. Модель кафе состоит из двух строк, Еда =~ вкус + свежесть + цена и Обслуживание =~ приветливо + быстро + медленно, и факторы могут коррелировать. Модель согласуется с данными: χ²(8) = 6.41, p = 0.60, CFI 1.00, TLI 1.01, RMSEA 0.000 (90%-ный ДИ от 0.000 до 0.071), SRMR 0.034. Стандартизованные нагрузки равны 0.77, 0.68 и 0.57 у пунктов о еде и 0.62, 0.70 и −0.59 у пунктов об обслуживании, все с p < 0.001. Нагрузка пункта медленно отрицательна, поскольку модель берёт его в исходном виде. Конкурирующая модель с одним фактором за всеми шестью пунктами не согласуется с данными совсем (см. критерий разности хи-квадрат ниже), и ради такого сопоставления КФА и нужен. Глава о КФА руководства по МСУ описывает редактор модели, параметры и таблицы результатов.

Моделирование структурными уравнениями соединяет измерительную модель с регрессиями между латентными переменными, которые она измеряет, так что гипотеза о конструктах проверяется за вычетом ошибки измерения. Если добавить к КФА кафе одну строку, оценка ~ Еда + Обслуживание, общая оценка кафе участниками по шкале 0–10 регрессирует на две латентные удовлетворённости, а не на два средних балла. Стандартизованный эффект Еды равен 0.49, Обслуживания — 0.55, оба с p < 0.001, и вместе они объясняют 79% дисперсии переменной оценка. Расчёт идёт по 193 участникам, которые её указали, поскольку модель использует полные наблюдения, если не включён FIML. Модель в целом по-прежнему согласуется с данными, χ²(12) = 9.90, p = 0.62. Та же регрессия на два средних по пунктам дала бы меньшие коэффициенты и меньший R², ослабленные ошибкой измерения средних. Синтаксис и редактор многогрупповых моделей описаны в руководстве по МСУ.

Путевой анализ — модель регрессий только между наблюдаемыми переменными, без латентных переменных и без строк =~, изображённая в виде диаграммы стрелок. Цепочка вроде ожидание → оценка → рекомендует становится одной моделью, и её косвенный эффект можно оценить и проверить. В DataSuite путевой анализ есть в двух местах. В продвинутом режиме модуля регрессии каждое уравнение подгоняется отдельно, а произведения вдоль цепочек оцениваются бутстрэпом. Для рекурсивной модели это точно, и именно там критерий направленной сепарации проверяет, оправданы ли пропущенные стрелки. Модуль МСУ оценивает те же уравнения совместно, с полным набором индексов соответствия, и подходит, когда в модель входит латентная переменная или нужна строгая путевая модель с категориальными переменными.

Критерий направленной сепарации — предложенная Шипли проверка соответствия путевой модели, оцениваемой уравнение за уравнением. Каждая пара переменных, которую диаграмма не соединяет стрелкой, — это утверждение, что при фиксированных родителях обеих переменных они независимы. Каждое такое утверждение проверяют, добавляя одну переменную в регрессию другой на это множество условий, а статистика Фишера $C=-2\sum \ln p$ объединяет p-значения утверждений в одно число. Если все утверждения верны, оно распределено как χ² с числом степеней свободы, равным удвоенному числу утверждений. Модель оценка ~ вкус + ожидание и рекомендует ~ оценка на 178 участниках кафе, у которых заполнены все четыре переменные, оставляет два утверждения: при известной переменной оценка ни вкус, ни ожидание ничего не добавляют к предсказанию переменной рекомендует. Каждое проверяется добавлением переменной в логистическую регрессию рекомендует на оценка, и критерий отношения правдоподобия даёт χ²(1) = 2.50, p = 0.114 для вкус и χ²(1) = 0.03, p = 0.862 для ожидание. В итоге C = 4.64 при 4 df, p = 0.326, и две стрелки, которых нет в модели, с данными согласуются. Значимое C означает обратное: стрелка, которой нет на диаграмме, в модели нужна, и какая именно, показывает утверждение с наибольшим вкладом в статистику. Это единственная проверка, способная опровергнуть путевую модель целиком, ведь собственные результаты каждого уравнения этого сделать не могут.

Структурная модель — регрессионная часть МСУ, строки ~ между латентными и наблюдаемыми переменными, в отличие от её измерительной модели. Её коэффициенты толкуются как любые коэффициенты регрессии: рост Еды на единицу повышает значение оценка на 1.05 балла, а в стандартизованном виде одно стандартное отклонение Еды соответствует 0.49 стандартного отклонения переменной оценка.

Оценки параметров — числа, из которых состоит подогнанная модель: все нагрузки, регрессии, дисперсии и ковариации, каждая со стандартной ошибкой, z, p и доверительным интервалом, в нестандартизованном и стандартизованном виде. Таблицы этих оценок и составляют результаты модели, а индексы соответствия обобщают, насколько хорошо модель в целом воспроизводит данные.

Маркерная переменная — индикатор, нагрузка которого зафиксирована на 1, чтобы задать латентной переменной шкалу: у ненаблюдаемой переменной собственных единиц нет. В КФА кафе маркер Еды — вкус, маркер Обслуживания — приветливо (первые пункты каждого фактора). Поэтому нестандартизованные нагрузки показывают, насколько смещается каждый другой пункт на единицу Еды, измеренной в единицах пункта вкус (свежесть 0.86, цена 0.76), а дисперсия Еды, 0.83, выражена в единицах пункта вкус. Другой вариант — зафиксировать на 1 дисперсию фактора, освободив все нагрузки. Ни тот, ни другой выбор не меняет ни соответствие модели данным, ни стандартизованные результаты, а выбирают между ними параметром Масштабирование факторов.

Стандартизованная нагрузка — нагрузка при дисперсиях фактора и пункта, приведённых к 1, то есть корреляция пункта с фактором. Именно её смотрят и приводят в отчёте. Приложение выводит её в столбце Станд. (полностью): у пункта вкус на Еду она равна 0.77. Её квадрат — R² пункта.

R² индикатора — доля дисперсии пункта, объяснённая фактором, то есть общность в терминах КФА: 0.59 у пункта вкус и 0.33 у пункта цена, самая низкая из шести. Единица минус R² — стандартизованная остаточная дисперсия.

Остаточная дисперсия — дисперсия индикатора, не объяснённая его фактором, то есть уникальность в КФА, которая оценивается как параметр. У пункта вкус она равна 0.58 в исходных единицах и 0.41 в стандартизованном виде. Отрицательная остаточная дисперсия — случай Хейвуда.

Ковариация факторов — ковариация двух латентных переменных. У Еды и Обслуживания она равна 0.30 в исходных единицах, а в стандартизованном виде это корреляция факторов 0.45 (95%-ный ДИ от 0.28 до 0.62).

Свободные параметры — числа, которые модель оценивает по данным. В КФА кафе их 13: четыре нагрузки (два маркера зафиксированы), шесть остаточных дисперсий, две дисперсии факторов и одна ковариация. Данные дают 21 число (шесть дисперсий и пятнадцать ковариаций), и разность, 8, — это степени свободы модели.

Степени свободы модели — число наблюдаемых дисперсий и ковариаций минус число свободных параметров, то есть число способов, которыми модель могла оказаться неверной. При 8 df КФА кафе делает о 21 числе 8 проверяемых утверждений. Модель с 0 df не делает ни одного и всегда идеально согласуется с данными: это насыщенная модель. Чем больше df, тем модель экономнее и тем легче её опровергнуть, и индексы с поправкой на экономность ниже её за это поощряют.

Идентификация — вопрос о том, достаточно ли в данных информации, чтобы однозначно определить каждый свободный параметр. Однофакторной модели нужны три индикатора, а с двумя параметров у неё больше, чем данных. Двухфакторная модель идентифицирована и с двумя индикаторами на фактор, если факторы коррелируют. Неидентифицированная модель даёт предупреждение, абсурдные стандартные ошибки или вовсе не даёт решения. Помогают больше индикаторов или меньше параметров, но никогда не другой метод оценки.

Сходимость — достижение методом оценки решения, то есть набора значений параметров, при котором соответствие модели данным перестаёт улучшаться. У модели, которая не сошлась, нет результатов, заслуживающих внимания, и приложение об этом сообщает. Обычные причины — неидентифицированная модель, случай Хейвуда или неудачная начальная точка, которую исправляет другая маркерная переменная.

Метод оценки — способ, которым находят значения параметров. По умолчанию это максимальное правдоподобие, которое предполагает, что индикаторы приблизительно многомерно нормальны, и именно его используют КФА и МСУ на этой странице. Другие варианты — робастная модификация, которая поправляет χ² и стандартные ошибки на ненормальность, и метод наименьших квадратов для порядковых индикаторов. Пункты кафе с ответами от 1 до 5 здесь считаются непрерывными, и это обычная практика для пяти категорий с разумным разбросом. Когда стоит переключиться, описано в разделе о методе оценки в КФА руководства по МСУ.

Подходит ли модель? #

Из КФА или МСУ следует определённая корреляционная матрица (та, которую дали бы их нагрузки и пути), а соответствие модели данным измеряют расстоянием между этой матрицей и наблюдаемыми корреляциями. Единой меры этого расстояния нет, поэтому модель оценивают по нескольким индексам, которые штрафуют за разное, и по соглашению вместе приводят критерий χ², CFI, TLI, RMSEA с интервалом и SRMR.

Индекс соответствия — одна из таких мер. К каждому индексу прилагается эмпирическое правило, но правила — ориентиры, а не законы: их устанавливали моделированием на конкретных моделях. Модель может пройти их все и при этом расходиться с данными в чём-то важном, а может не пройти RMSEA и всё же оставаться лучшим доступным описанием данных. Индексы смотрят вместе и рядом с остаточными корреляциями.

Индексы соответствия модели — таблица результатов с этими индексами, одинаковая в модулях факторного анализа, КФА и МСУ. Её выводит одноимённый флажок. О соответствии регрессионной модели данным, где вопрос ставится иначе, см. соответствие модели.

Критерий хи-квадрат соответствия модели проверяет, воспроизводит ли модель данные точно: нулевая гипотеза состоит в том, что воспроизводит. Для двухфакторной КФА кафе χ²(8) = 6.41, p = 0.60, то есть данные модели не противоречат. Для однофакторной χ²(9) = 64.07, p < 0.001, и данные ей противоречат. Это единственный индекс с p-значением, и толкуется он наоборот по сравнению с большинством критериев: хорошая новость здесь — высокое p. Почему так, объясняет страница о p-значении там, где речь идёт о том, какая нулевая гипотеза проверяется. К тому же χ² растёт с объёмом выборки, так что при тысяче наблюдений отвергается почти любая модель, и индексы ниже нужны, чтобы оценивать соответствие по степени, а не выносить вердикт.

Насыщенная модель — модель, у которой параметров столько же, сколько чисел в данных (df = 0). Она воспроизводит корреляции точно и согласуется с данными идеально по построению. Это потолок, относительно которого χ² измеряет подогнанную модель: статистика критерия — расстояние до насыщенной модели. На пунктах кафе такова трёхфакторная модель, и её CFI 1.00 и SRMR 0.002 — арифметика, а не свидетельство.

Базовая модель — модель на другом полюсе: все индикаторы независимы друг от друга, факторов нет вовсе. Это нижняя точка, от которой отсчитывают сравнительные индексы (у базовой модели кафе χ² = 233.5 при 15 df), и CFI и TLI показывают, какую часть пути от неё до насыщенной модели прошла подогнанная модель.

CFI — сравнительный индекс соответствия — показывает, какую часть пути от базовой модели к идеальному соответствию прошла модель, от 0 до 1, причём χ² каждой модели поправлен на её df. Двухфакторная модель кафе получает 1.00 (её χ² меньше df, и поправка выводит индекс на потолок), однофакторная — 0.75. Обычные пороги — 0.95 для хорошего соответствия и 0.90 для приемлемого. Из всех индексов CFI меньше всего зависит от объёма выборки, и чаще всего именно по его изменению сравнивают вложенные модели (см. ΔCFI).

TLI — индекс Такера — Льюиса, его также называют ненормированным индексом соответствия — старший родственник CFI с более сильным штрафом за свободные параметры. Поэтому он поощряет экономную модель и может превысить 1, когда модель подогнана лучше, чем позволяют её df. Двухфакторная модель кафе получает 1.01, однофакторная — 0.58. Пороги те же, что у CFI. Обычно два индекса согласуются, а если TLI заметно ниже CFI, модель добивается соответствия за счёт лишних параметров.

RMSEA — среднеквадратическая ошибка аппроксимации — несоответствие на одну степень свободы с поправкой на объём выборки, от 0 и выше: насколько плохо модель согласуется с генеральной совокупностью в расчёте на одно утверждение. Ниже 0.05 — близкое соответствие, до 0.08 — разумное, выше 0.10 — плохое. Двухфакторная модель кафе получает 0.000 с 90%-ным интервалом от 0.000 до 0.071, однофакторная — 0.175 (от 0.137 до 0.218). Смотреть нужно на интервал: точечная оценка 0 на 200 наблюдениях значит меньше, чем верхняя граница 0.07. Приложение выводит и p-close — вероятность того, что RMSEA в генеральной совокупности меньше 0.05 (здесь 0.85). На моделях с очень малым числом df RMSEA ненадёжен, его интервал широк, как бы модель ни соответствовала данным, и там приложение его не выводит.

SRMR — стандартизованный среднеквадратический остаток — средняя величина остаточных корреляций: насколько в среднем корреляция, следующая из модели, отличается от наблюдаемой. Обычный порог — 0.08. Двухфакторная модель кафе получает 0.034: все её остатки меньше 0.09, наибольший, 0.088, приходится на пару цена и медленно. Однофакторная получает 0.106, с остатками 0.17 и 0.18 между пунктами одной тройки, которые один фактор объяснить не может. Это самый прямой из индексов, поскольку он и есть несоответствие, а не функция от χ².

GFI — индекс качества соответствия Йорескога и Сёрбома — доля наблюдаемых дисперсий и ковариаций, которую воспроизводит модель, от 0 до 1. Это R² для всей ковариационной матрицы, где 1 означает, что матрица, следующая из модели, совпадает с наблюдаемой. Двухфакторная модель кафе получает 0.989, однофакторная — 0.885. Индекс ничем не штрафует за параметры, потраченные на достижение такого соответствия (AGFI и PGFI — два способа ввести такой штраф), и растёт с объёмом выборки при любой модели. Поэтому рядом с CFI и RMSEA его перестали использовать для вердикта. Традиционной планкой было 0.90.

AGFI — скорректированный индекс качества соответствия — это GFI со штрафом за параметры, потраченные на воспроизведение данных. Доля, которую GFI оставляет невоспроизведённой, умножается на отношение числа дисперсий и ковариаций данных к степеням свободы модели, для двухфакторной модели кафе 21 к 8. Эта модель получает 0.97, однофакторная — 0.73. От GFI индекс унаследовал рост с объёмом выборки, а с ним и отказ от использования для вердикта. Традиционной планкой было 0.90.

NFI — нормированный индекс соответствия Бентлера и Бонетта — доля χ² базовой модели, которую устраняет подогнанная модель, $({\chi }_0^2-{\chi }_m^2)/{\chi }_0^2$, от 0 до 1. Двухфакторная модель кафе устраняет 97% от 233.5 у базовой модели (NFI 0.97), однофакторная — 73%. Поправки на степени свободы нет, так что добавление параметра может индекс только повысить, а на малых выборках он занижен даже для верной модели. Эти два недостатка и призваны исправить индексы ниже и CFI. Обычная планка — 0.95.

RFI — относительный индекс соответствия Боллена — это NFI, вычисленный по χ² на степень свободы: насколько χ²/df модели снизилось по сравнению с базовой моделью. У кафе оно снижается с 15.6 до 0.80 для двухфакторной модели, то есть RFI равен 0.95, а однофакторная модель получает 0.54. Деление на df штрафует модель за параметры, поэтому RFI ниже NFI и может снизиться при добавлении параметра. TLI — то же отношение, только из χ²/df базовой модели вычитается 1, значение, которое показала бы верная модель.

IFI — инкрементный индекс соответствия Боллена — это NFI, у которого из знаменателя вычтены df подогнанной модели, $({\chi }_0^2-{\chi }_m^2)/({\chi }_0^2-d{f}_m)$: улучшение по сравнению с базовой моделью измеряется относительно улучшения, ожидаемого от верной модели. Это устраняет большую часть занижения NFI на малых выборках и, как у TLI, позволяет индексу превысить 1, когда χ² модели меньше её df. Двухфакторная модель кафе получает 1.01, однофакторная — 0.75.

PNFI — экономный нормированный индекс соответствия Джеймса, Мулейка и Бретта — это NFI, умноженный на долю степеней свободы базовой модели, которую модель сохраняет, $d{f}_m/d{f}_0$. Поэтому модель, потратившая на параметры все df, получает 0, как бы хорошо она ни согласовывалась с данными. Двухфакторная модель кафе сохраняет 8 из 15 и получает 0.52, однофакторная сохраняет 9 и получает 0.44. Общепринятого порога нет: индекс сравнивает модели, подогнанные к одним данным, и чем он выше, тем больше соответствия приходится на каждый потраченный параметр. Вес экономности может перевесить соответствие, как показывает PGFI.

PGFI — экономный индекс качества соответствия Мулейка и соавторов — это GFI, умноженный на долю степеней свободы модели в числе дисперсий и ковариаций данных, 8 из 21 для двухфакторной модели кафе. Эта модель получает 0.377, а однофакторная — 0.379: модель, которую отвергают все остальные индексы, оказывается на волосок выше, потому что сэкономленная ею степень свободы перевешивает её потерю в соответствии. В этом предел индексов экономности: они обменивают соответствие на простоту по фиксированному курсу, который никто не калибровал. Поэтому их смотрят рядом с другими индексами и никогда не используют для вердикта.

BIC с поправкой на объём выборки — BIC с более мягким штрафом за параметр. Он нужен для сравнения моделей на одних данных, как в таблицах МСУ в приложении: чем меньше, тем лучше, и разница в 10 решающая. Рядом таблицы приводят обычные AIC и BIC. Двухфакторная КФА кафе выигрывает у однофакторной 56 по AIC и 52 по BIC.

Сравнение моделей по числу факторов — то, как индексы соответствия используются в РФА. Те же χ², RMSEA, CFI, TLI, SRMR и информационные критерии вычисляются по очереди для каждого возможного числа факторов, по строке на число, и смотрят, на какой строке они устанавливаются, а не на вердикт отдельной строки. Строки кафе таковы. Один фактор: χ²(9) = 64.7, p < 0.001, RMSEA 0.18, CFI 0.74, SRMR 0.10, плохо по всем индексам. Два фактора: χ²(4) = 1.05, p = 0.90, RMSEA 0 с интервалом от 0 до 0.045, CFI 1.00, TLI 1.05, SRMR 0.01, то есть наилучшие возможные значения. Три фактора — насыщенное число при 0 df, корреляции воспроизводятся по построению, и оценивать соответствие нечем. Нужная строка — вторая, и картина обычная: скачок соответствия на истинном числе факторов и никакого выигрыша дальше. χ² и построенные на нём индексы берутся из меры расхождения максимального правдоподобия для того решения, к которому пришёл метод извлечения. Поэтому при любом другом методе они описывают соответствие, а не проверяют его, и выглядят чуть хуже, чем при подгонке методом максимального правдоподобия, о чём приложение сообщает под таблицей. Соответствие данным — лишь один из доводов наряду с правилами выбора числа факторов: решение, которое согласуется с данными, но не поддаётся толкованию, — не результат. Руководство по факторному анализу разбирает таблицу построчно.

EBIC — эмпирический BIC — это BIC, построенный на другом χ². Берётся не χ² правдоподобия, который принадлежит максимальному правдоподобию и при других методах извлечения лишь заимствуется, а χ², следующий из остаточных корреляций, действительно оставленных решением. По нему можно судить о любом методе. Эти два χ² по-разному учитывают несоответствие: χ² правдоподобия засчитывает остаток тем весомее, чем лучше измерены затронутые пункты, а χ² по остаткам учитывает все остатки одинаково. Поэтому их минимумы могут прийтись на разные строки, и тогда EBIC обычно тяготеет к большему числу факторов. На пунктах кафе они согласуются: BIC равен 17.0 для одного фактора и −20.1 для двух, EBIC — −4.0 и −20.8, и оба минимальны на строке двух факторов. ESABIC — это EBIC с поправкой на объём выборки, 24.5 и −8.1 на тех же двух строках. Расхождение двух минимумов — настоящая неоднозначность данных, и разрешают её параллельный анализ и то, какое решение поддаётся толкованию, а не выбор столбца по вкусу.

Критерий разности хи-квадрат сравнивает две вложенные модели, одна из которых — другая с некоторыми зафиксированными параметрами, по разности их χ² при разности их df. Это критерий отношения правдоподобия для структурных моделей. Однофакторная модель кафе — двухфакторная с корреляцией факторов, зафиксированной на 1, поэтому Δχ² = 64.07 − 6.41 = 57.65 при 1 df, p < 0.001: освобождение корреляции улучшает соответствие далеко за пределы случайного, и факторов два. На этом критерии основан каждый шаг проверки инвариантности. При робастном методе оценки оба χ² масштабируются, и разность не сводится к простому вычитанию, но приложение выполняет правильный расчёт.

Индексы модификации показывают, насколько снизился бы χ², если освободить один зафиксированный параметр: нагрузку, которую модель приравнивает к нулю, или ковариацию двух остатков. На каждый такой параметр приходится один индекс. Наибольшие в КФА кафе — 4.15 за нагрузку пункта свежесть на Обслуживание и 4.15 за корреляцию остатков пунктов вкус и цена. Каждый стоит примерно одну степень свободы χ², и ни один не даёт повода что-то менять. Индекс меньше примерно 10 — шум, а изменение, внесённое только потому, что так подсказал индекс, подгоняет модель к этой выборке, и на следующей выборке оно не повторится. Индексы модификации годятся для поиска одной явной ошибки спецификации, у которой есть содержательная причина (два пункта с одинаковой формулировкой, известная побочная нагрузка), а само изменение в отчёте указывают как апостериорное.

ОЗП — ожидаемое изменение параметра рядом с ИМ: значение, которое принял бы освобождённый параметр (0.32 для нагрузки пункта свежесть на Обслуживание, 0.20 в стандартизованном виде). По нему видно, стоит ли за снижением χ² параметр хоть сколько-нибудь заметной величины. Большой ИМ при крошечном ОЗП — артефакт объёма выборки.

Остаточные корреляции — наблюдаемые корреляции минус корреляции, следующие из модели, для каждой пары пунктов: несоответствие модели с указанием того, где оно возникает. Пункты вкус и свежесть коррелируют в данных на уровне 0.511, а по двухфакторной модели — на уровне 0.523, остаток −0.012, и наибольший из пятнадцати остатков, 0.088, приходится на пару цена и медленно. По однофакторной модели остатки внутри каждой тройки составляют от 0.09 до 0.18, а между тройками от −0.06 до −0.14 (у пункта медленно с обратным знаком, поскольку он направлен в другую сторону). Это признак пропущенного фактора: блоки пар, недооценённых моделью, и блоки переоценённых. Остаток больше 0.10 по модулю заслуживает внимания. Приложение подсчитывает такие остатки и выводит матрицу, если отмечен флажок Остаточные корреляции. Двухфакторный РФА пунктов кафе оставляет все остатки в пределах 0.03 и ни одного выше 0.05, а двухкомпонентный АГК тех же пунктов оставляет выше этого порога 8 из 15, поскольку компонента включает собственную дисперсию каждого пункта, а не воспроизводит корреляции. Две доли соответствия из пакета psych обобщают тот же разрыв. Доля суммы квадратов корреляций, воспроизведённая решением, равна 0.999 для двух факторов и 0.85 для двух компонент, а доля для всей матрицы вместе с диагональю составляет 0.78 почти для любого решения и объяснённой дисперсией не является.

Годится ли шкала? #

Если модель согласуется с данными, пункты связаны так, как она утверждает. Достаточно ли тесно они связаны, чтобы составлять одну шкалу, и действительно ли две шкалы — это две, а не одна, решают конвергентная и дискриминантная валидность, и обе оценивают по стандартизованным нагрузкам КФА.

Конвергентная валидность — степень согласия индикаторов фактора: они измеряют что-то одно и измеряют это хорошо. Её меры — величина стандартизованных нагрузок (обычно требуют, чтобы все они по модулю превышали 0.5, и у кафе они лежат от 0.57 до 0.77, причём у пункта медленно нагрузка отрицательная), AVE и составная надёжность.

Средняя извлечённая дисперсия — среднее квадратов стандартизованных нагрузок индикаторов фактора, то есть доля дисперсии пунктов, которую в среднем объясняет фактор. У Еды она равна 0.46, у Обслуживания 0.41, ниже принятого порога 0.50. Это значит, что больше половины дисперсии каждого пункта — шум, как обычно и бывает у трёх коротких пунктов опросника. Правило — лишь ориентир: шкалой из трёх пунктов с нагрузками около 0.65 и AVE 0.45 пользоваться можно, а сопоставлять AVE стоит с составной надёжностью.

Составная надёжность (CR) — надёжность суммы индикаторов фактора, вычисленная по их нагрузкам, а не по корреляциям, как α Кронбаха: доля дисперсии суммы, приходящаяся на фактор. У Еды она равна 0.71, у Обслуживания 0.67. Те же числа приложение выводит как ω Мак-Дональда, и это тот же коэффициент под другим названием. Для Обслуживания сумма берётся с перевёрнутым пунктом медленно. Пункт, нагруженный против остальных пунктов своего фактора, гасил бы их в сумме, поэтому приложение переворачивает его только для коэффициентов надёжности и называет его вместе с нагрузкой в примечании под таблицей. Обычно требуют больше 0.7, а CR выше 0.6 при AVE ниже 0.5 считают приемлемой конвергентной валидностью. О семействе этих коэффициентов рассказывает руководство по анализу надёжности.

Дискриминантная валидность — степень различия двух факторов: Еда и Обслуживание — это две вещи, а не одна, измеренная дважды. Корреляция факторов, близкая к 1, её сразу опровергает, а два критерия ниже проверяют её по степени. Параметр приложения Дискриминантная валидность выводит оба.

Критерий Форнелла — Ларкера требует, чтобы каждый фактор делил со своими индикаторами больше дисперсии, чем с любым другим фактором: квадратный корень из его AVE должен превышать его корреляции с другими факторами. У Еды √AVE равен 0.68, у Обслуживания 0.64, оба выше их корреляции 0.45, так что критерий выполнен.

HTMT — отношение гетеротрейт-монотрейт — средняя корреляция между пунктами разных факторов, делённая на среднюю корреляцию между пунктами одного фактора. Каждая корреляция берётся по модулю, чтобы обратный пункт учитывался по силе связи. Приложение усредняет их как средние геометрические (форма HTMT2, которая остаётся состоятельной при неравных нагрузках пунктов). Для Еды и Обслуживания корреляции между тройками в среднем равны 0.17, а внутри троек 0.45 и 0.40, что даёт 0.41. Ниже 0.85 факторы различны, выше 0.90 это один фактор. Из двух критериев этот чувствительнее, и при расхождении в отчёте приводят его.

Одна шкала в двух группах #

Сравнивать удовлетворённость в «Набережной» и «Привокзальной» можно, только если шесть пунктов измеряют удовлетворённость в обоих филиалах одинаково. У этого допущения есть проверка: последовательность моделей КФА, подгоняемых сразу к двум группам, где между группами приравнивается всё больше параметров.

Измерительная инвариантность — свойство шкалы измерять один и тот же конструкт в одной и той же метрике в разных группах, в разные моменты или на разных языках, так что различие баллов — это различие в конструкте, а не в поведении пунктов. Её проверяют по уровням, каждый из которых вложен в предыдущий, и сравнивать средние между группами позволяет скалярный уровень. Каскад кафе по филиалам таков: конфигуральный уровень χ²(16) = 23.55, p = 0.10; метрический Δχ²(4) = 2.22, p = 0.70; скалярный Δχ²(4) = 1.39, p = 0.85; строгий Δχ²(6) = 25.04, p < 0.001. Шкала инвариантна до скалярного уровня включительно, но не дальше, и этого достаточно, чтобы сравнить латентные средние филиалов. Раздел об инвариантности руководства по МСУ описывает, как запустить каскад и как разобрать его таблицу.

Конфигуральная инвариантность — первый уровень: одна и та же модель (те же пункты на тех же факторах) подгоняется в каждой группе со всеми параметрами свободными. Она проверяет лишь, одинакова ли форма структуры, и служит базой, с которой сравниваются следующие уровни. Конфигуральная модель кафе согласуется с данными приемлемо: CFI 0.97, RMSEA 0.069.

Метрическая инвариантность (её также называют слабой) добавляет равенство нагрузок между группами: каждый пункт одинаково сильно связан со своим фактором в обоих филиалах, так что единица Еды означает одно и то же в каждом. Она позволяет сравнивать между группами корреляции факторов и регрессионные пути. Кафе этот уровень проходит: Δχ²(4) = 2.22, p = 0.70, ΔCFI +0.008.

Скалярная инвариантность (сильная) добавляет равенство свободных членов: участник с одинаковой удовлетворённостью едой даёт на пункт вкус в обоих филиалах один и тот же ожидаемый ответ. Она позволяет сравнивать латентные средние, ведь без неё различие средних могло бы означать, что пункт ведёт себя по-разному, а не что различается конструкт. Кафе этот уровень проходит: Δχ²(4) = 1.39, p = 0.85, ΔCFI +0.012.

Строгая инвариантность добавляет равенство остаточных дисперсий: пункты одинаково зашумлены в обеих группах. Она редко нужна и редко выполняется. Кафе её не проходит, Δχ²(6) = 25.04, p < 0.001, ΔCFI −0.085, потому что ответы в «Привокзальной» разбросаны сильнее, чем в «Набережной», по каждому пункту, а по пяти из шести значимо: этот филиал при генерации данных сделали более неоднородным. Непройденная строгая инвариантность не отменяет уровней ниже.

Структурная инвариантность выходит за пределы измерения к самим латентным переменным: это равенство дисперсий и ковариаций факторов между группами. Это гипотеза о конструктах, а не о шкале, и её оценивают саму по себе, а не как разрешение на сравнение. Кафе не проходит и её, Δχ²(3) = 11.68, p = 0.009.

ΔCFI — изменение CFI от одного уровня инвариантности к следующему. Это практический критерий, который используют рядом с Δχ², потому что на больших выборках критерий χ² отвергает и пустячные различия: падение больше чем на 0.01 — обычный признак того, что уровень не пройден. У кафе CFI меняется на +0.008 и +0.012 на первых двух шагах и на −0.085 на третьем, то есть строгий уровень не пройден по обоим критериям. Приложение сообщает также ΔRMSEA (рост больше 0.015 означает, что уровень не пройден) и ΔSRMR.

Частичная инвариантность — то, что заявляют, когда уровень не пройден из-за одного-двух параметров: их освобождают, остальные оставляют равными, и сравнение продолжают с оговоркой. Критерии Рао в приложении называют параметры, освобождение которых сильнее всего улучшило бы соответствие. На строгом уровне сильнее всего нарушает равенство остаточная дисперсия пункта цена, χ²(1) = 8.18, p = 0.004. Частичная инвариантность — результат разведочный, и сообщать о ней нужно именно так.

Латентное среднее — среднее латентной переменной в группе на шкале, заданной маркерной переменной, причём у одной группы, опорной, оно зафиксировано на 0. Оценить его можно, когда выполняется скалярная инвариантность. Если среднее «Набережной» принять за 0, среднее Еды в «Привокзальной» равно +0.11 (SE 0.15, p = 0.45), а среднее Обслуживания −0.34 (SE 0.13, p = 0.008). Участники из «Привокзальной» так же довольны едой и менее довольны обслуживанием, и именно эту картину заложили в данные. Разность, делённая на латентное стандартное отклонение, становится d Коэна на латентной шкале, которое можно сопоставлять между шкалами: для Обслуживания это −0.40.

Теория тестовых заданий #

Факторный анализ обращается с ответами на пункт как с непрерывной переменной, а теория тестовых заданий — как с тем, чем они являются, то есть с категориями, и моделирует вероятность каждого ответа как функцию положения человека на черте. В результате получается шкала, на которой вместе располагаются пункты и люди, оценка того, насколько точно измерен каждый человек, и способ проверить, одинаково ли пункт работает для всех. Чтобы показать, что означают числа, шесть пунктов кафе подогнаны здесь как одна черта, «удовлетворённость», хотя по проверке одномерности шкала двумерна, и ниже видно, как это проявляется в диагностике. Корректный анализ подгоняет Еду и Обслуживание по отдельности или строит двумерную модель (многомерная IRT ниже, её описывает раздел о размерности руководства по IRT).

Теория тестовых заданий — семейство моделей, в которых вероятность ответа на пункт зависит от параметра человека, черты, и от одного или нескольких параметров пункта: насколько он труден, насколько резко различает людей. Классическая теория тестов описывает тест в целом, а IRT описывает каждый пункт, и её оценки людей не зависят от того, на какие пункты они отвечали, так что две формы теста можно поместить на одну шкалу.

Классическая теория тестов — более старый подход, в котором балл человека — сумма баллов за пункты, надёжность теста — одно число, а трудность пункта — доля правильно ответивших. Он прост и во многих случаях достаточен, и именно его реализует анализ надёжности. Ограничение подхода в том, что все его числа зависят от выборки, на которой вычислены: пункт «лёгкий» только для этой группы. IRT это ограничение снимает.

θ (тета) — положение человека на черте, то есть латентная переменная в терминах IRT, на шкале со средним 0 и стандартным отклонением 1 в выборке: участник с θ = 1 удовлетворён на одно стандартное отклонение больше среднего. У участников кафе θ лежит от −2.53 до 1.99, и у каждой оценки своя стандартная ошибка, от 0.44 до 0.63: θ человека измеряется, а не подсчитывается. Приложение сводит оценки в таблицу Оценки способности испытуемых, подписывает ось θ на графиках Способность (θ) и для теста, и для опросника, а по кнопке записывает θ каждого человека в набор данных.

Характеристическая кривая пункта — график вероятности ответа в зависимости от θ для одного пункта. Для пункта с ответом «верно/неверно» это S-образная кривая, а для пункта со шкалой 1–5 — набор кривых, по одной на каждую категорию ответа, и каждая достигает максимума там, где этот ответ наиболее вероятен. Положение кривой по оси θ — трудность пункта, её крутизна — дискриминация. Два пункта с одинаковой кривой взаимозаменяемы, и по этому графику быстрее всего видно, как набор пунктов покрывает черту.

Трудность — точка на оси θ, где ответ на пункт меняется. Для пункта «верно/неверно» это θ, при котором вероятность верного ответа равна 50%. Для пункта 1–5 это значения θ, при которых каждый следующий ответ становится вероятнее более низких. Трудность лежит на той же шкале, что и θ, так что по ней видно, для кого пункт. Четыре порога пункта вкус равны −2.06, −0.95, −0.09 и 0.89, поэтому участник со средней удовлетворённостью с вероятностью 55% согласится (4 или 5) с утверждением «еда была вкусной» и с вероятностью 13% полностью согласится. Пороги пункта приветливо равны −3.51, −2.43, −1.00 и 1.01, так что тот же средний участник соглашается с утверждением «персонал был приветлив» в 69% случаев. С этим пунктом легче согласиться, и именно это означает более низкая трудность.

Порог — трудность одного шага политомического пункта: θ, при котором ответ k или выше становится вероятнее ответа ниже k. У пункта 1–5 четыре порога, по возрастанию. Приложение подписывает их Порог 1 … Порог 4 или b1 … b4, каждый со стандартной ошибкой. Порог далеко ниже выборки (−3.51 у пункта приветливо) указывает на категорию ответа, которой почти никто не пользовался.

Дискриминация — насколько резко пункт различает людей по обе стороны от своей трудности: наклон характеристической кривой в самой крутой её точке. Высокое значение означает, что небольшое различие в θ сильно меняет ожидаемый ответ, так что пункт информативен, а низкое — что ответ почти одинаков у всех. На шести пунктах кафе дискриминация пункта вкус равна 2.12 (SE 0.42), свежесть — 1.71, цена — 1.20, а трёх пунктов об обслуживании — от 0.79 до 0.83. В единой черте преобладают пункты о еде, и это первый признак того, что шкала двумерна, а не одномерна. Значения выше 1.35 считаются высокими, от 0.65 до 1.34 умеренными, ниже 0.65 низкими. Отрицательная дискриминация бывает у обратного пункта, который не отметили в списке Обратные пункты. Пункт медленно, выбранный там, подгоняется перевёрнутым, и его дискриминация положительна.

Свободный член (d) — параметризация, в которой работает метод оценки: лёгкость пункта при θ = 0, по одной на каждый порог. Из свободных членов получают трудности ($b=-d/a$), и приложение выводит их рядом.

Угадывание — нижняя асимптота характеристической кривой: вероятность верного ответа у человека, у которого способности нет вовсе, как в пункте с выбором из четырёх вариантов, где она около 0.25. Это третий параметр модели 3PL, и для пункта с оценочной шкалой он смысла не имеет.

Модель Раша — простейшая модель IRT: у каждого пункта своя трудность, а дискриминация у всех общая. Поэтому суммарный балл содержит всю информацию о θ, а пункты и люди располагаются на одной шкале с равными интервалами. Эту модель выбирают, когда пункты составлены как одинаково хорошие индикаторы и сообщать будут суммарный балл. Её цена в том, что пункт, различающий людей гораздо лучше остальных, она описать не может, и такие случаи выявляют её статистики соответствия (infit и outfit). Однопараметрическая логистическая модель, 1PL, — та же модель, а для упорядоченных категорий она становится моделью частичного зачёта.

2PL — двухпараметрическая логистическая модель: у каждого пункта своя трудность и своя дискриминация. Именно ею подогнаны пункты кафе (в её политомической форме, модели градуированных ответов), и разброс дискриминаций от 0.79 до 2.12 — то, что модели Раша пришлось бы игнорировать.

3PL добавляет к 2PL параметр угадывания для тестов с выбором ответа. Ей нужны большие выборки, поскольку параметр угадывания трудно оценить, и для оценочной шкалы она никогда не подходит.

Модель градуированных ответов — 2PL для упорядоченных категорий: одна дискриминация на пункт и по одному порогу на каждый шаг между соседними ответами. Она моделирует вероятность ответа не ниже каждой категории. Это модель для пунктов шкалы Лайкерта, и именно по ней получены числа этой страницы, а модели после неё — альтернативы для упорядоченных ответов.

Модель частичного зачёта — модель Раша для упорядоченных категорий, построенная из шагов между соседними ответами. Каждый шаг описывает только одно: если человек дал один из двух соседних ответов, дал ли он более высокий. Трудность шага — θ, при котором оба ответа равновероятны. Модель градуированных ответов разрезает одну скрытую шкалу на категории, а модель частичного зачёта рассматривает каждый шаг как отдельный маленький пункт «верно/неверно», причём у всех шагов всех пунктов одна дискриминация, так что суммарный балл по-прежнему содержит всю информацию о θ. Приложение подгоняет эту модель, когда для пунктов с более чем двумя категориями выбрана Модель Раша (1PL). На шести пунктах кафе она тратит 25 параметров против 30 у модели градуированных ответов. По AIC она согласуется с данными чуть хуже (3500.8 против 3495.6), а по BIC, который сильнее штрафует за каждый параметр, лучше (3583.2 против 3594.6).

Обобщённая модель частичного зачёта даёт каждому пункту модели частичного зачёта собственную дискриминацию, как 2PL делает это с моделью Раша: шаги между соседними категориями те же, но каждый пункт различает людей настолько резко, насколько позволяют его данные. Это обычная альтернатива модели градуированных ответов для оценочных пунктов. Две модели описывают одни данные в разных терминах и по существу расходятся редко: на пунктах кафе обобщённая модель согласуется с данными почти так же хорошо (AIC 3497.2 против 3495.6 при тех же 30 параметрах). Её дискриминации несопоставимы с дискриминациями модели градуированных ответов, потому что каждая — наклон другой кривой: у пункта вкус здесь 1.16, а там 2.12.

Неупорядоченные шаги — трудности шагов, идущие не по порядку: шаг ниже предыдущего, что модели соседних категорий допускают, а модель градуированных ответов дать не может. Они означают, что категория между двумя шагами ни при каком θ не бывает единственным наиболее вероятным ответом: тот, кто мог бы её выбрать, всегда с большей вероятностью выберет соседнюю. У пункта приветливо шаг от 1 к 2 лежит на −0.96, а шаг от 2 к 3 на −2.45, так что «не согласен» никогда не бывает наиболее вероятным ответом. Его дали 15 участников, примерно столько же, сколько выбрали 1, и меньше половины от выбравших 3. Два последних шага пункта медленно переставлены так же. Данные кафе сгенерированы с упорядоченными порогами, так что перестановка указывает на узкую категорию, а не испорченный пункт. В практике модели Раша такую категорию считают используемой не по назначению и рассматривают её слияние с соседней, а это решение о формате ответа, а не о пункте.

Модель рейтинговой шкалы Андрича — модель частичного зачёта с одним набором трудностей шагов, общим для всех пунктов, причём каждый пункт сдвинут по оси θ на собственную величину. Пункты различаются тем, насколько легко с ними согласиться, а не расстояниями между категориями ответа. Это модель для опросника, пункты которого имеют один формат ответа и задуманы как взаимозаменяемые индикаторы, и цена у неё та же, что у модели Раша: одна дискриминация на все пункты. На пунктах кафе ей нужно 10 параметров против 30 у модели градуированных ответов, и у неё самый низкий BIC среди моделей упорядоченных категорий на этой странице, 3525.8. Её общие шаги равны −1.21, −0.77, −0.19 и 0.41, а сдвиги упорядочивают пункты в точности как их средние: от самого лёгкого для согласия пункта приветливо (среднее 3.79) до самого трудного, цена (3.34).

Обобщённая модель рейтинговой шкалы возвращает каждому пункту модели рейтинговой шкалы собственную дискриминацию: один общий набор порогов, сдвинутый от пункта к пункту, на накопленных категориях модели градуированных ответов. На пунктах кафе у неё самый низкий AIC среди моделей этой страницы, 3488.4 против 3495.6 у модели градуированных ответов, при 15 параметрах против 30. Здесь проступает модель, по которой сгенерированы данные кафе: пороги каждого пункта заданы почти на одинаковом расстоянии друг от друга (от 0.7 до 1.0) и сдвинуты от пункта к пункту при разных нагрузках. Это ровно та структура, которую предполагает эта модель, поэтому свобода модели градуированных ответов располагать пороги каждого пункта по-своему приносит меньше правдоподобия, чем стоят её пятнадцать лишних параметров.

Номинальная модель ответов отказывается от порядка: каждая категория ответа получает собственный наклон по θ, и данные сами показывают, какие категории связаны с более высоким θ и в каком порядке. Она нужна для ответов без известного порядка, например вариантов вопроса с выбором ответа, неверные из которых могут быть неверны в разной степени, а также для проверки порядка оценочной шкалы: наклоны, идущие в порядке категорий, его подтверждают. На пунктах кафе наклоны пункта вкус равны −2.34, −0.87, −0.13, 0.93 и 2.41 от «совершенно не согласен» до «полностью согласен», то есть идут по порядку. А у пункта быстро первые два наклона равны −0.71 и −0.76, так что ответы 1 и 2 на утверждение «заказ принесли быстро» означают для оценки удовлетворённости участника одно и то же. За гибкость приходится платить 48 параметрами на шести пунктах, и AIC кафе, 3517.3, выше, чем у любой модели, предполагающей порядок: порядок в данных был, и его стоило использовать.

Последовательная модель ответов рассматривает ответ как последний из ряда шагов, проходимых по порядку: чтобы дойти до категории 3, человек проходит шаг 1, затем шаг 2 и не проходит шаг 3, причём каждый шаг — пункт «верно/неверно», к которому приступают, только пройдя предыдущий. Она подходит для ответов, возникающих именно так (уровень, достигнутый на многоступенчатом экзамене, этап, до которого пройден курс), а не для степени согласия, выбранной за один раз: её описывает модель градуированных ответов. На пунктах кафе она согласуется с данными хуже модели градуированных ответов (AIC 3503.2 против 3495.6 при тех же 30 параметрах) и даёт почти те же дискриминации (у пункта вкус 2.05 против 2.12): в оценках согласия нет признаков поэтапного процесса, как и должно быть.

Развёртывание — другой способ, которым ответ может зависеть от черты: согласие максимально там, где положение человека совпадает с положением утверждения, и спадает в обе стороны, так что характеристическая кривая пункта одновершинная, а не возрастающая. Все модели выше предполагают противоположное, доминантный пункт: чем выше θ, тем больше человек согласен, как с утверждением «еда была вкусной». Это подходит для вопроса о том, сколько чего-то у человека есть: удовлетворённости, способности, тревожности. Развёртывание подходит для утверждения, занимающего позицию между двумя полюсами, с которым человек соглашается, только если оно совпадает с его собственной позицией (так выражаются установки, предпочтения, политические взгляды). Положение утверждения на шкале θ называется его идеальной точкой. Приложение подгоняет такие пункты моделью Идеальная точка для ответов «верно/неверно» и моделью GGUM (обобщённая градуированная модель развёртывания) для оценочных. В опросе кафе о кофе (cafe-coffee.ru.csv, сгенерированном по GGUM, спецификация лежит рядом) 200 участников оценили от 1 до 4, насколько они согласны с шестью утверждениями — от «я люблю молочные напитки, где кофе почти не чувствуется» до «мне нужен кофе как можно крепче и чернее». Так что θ — то, насколько крепкий кофе любит участник. GGUM помещает шесть утверждений в точки −1.54, −0.87, −0.20, 0.29, 0.91 и 1.55, а заложены они были в −1.5, −0.9, −0.3, 0.3, 0.9 и 1.5. С утверждением фильтр («мне подходит обычный фильтр-кофе») соглашаются (3 или 4) 91% участников, чей вкус совпадает с его идеальной точкой, около 64% тех, кто отстоит от неё на 0.8 в любую сторону, 14% любителей молочного кофе (θ = −2) и 6% любителей чёрного (θ = 2). Модель градуированных ответов такую кривую нарисовать не может и довольствуется возрастающей. Утверждениям молочный и латте она даёт отрицательные дискриминации, −3.11 и −1.27, как будто они обратные, утверждениям эспрессо и крепкий — положительные, 1.72 и 1.89, а утверждению фильтр — −0.18 (SE 0.15). Хорошее утверждение выглядит у неё ничего не измеряющим, потому что участники по обе стороны от него одинаково не согласны. GGUM согласуется с данными гораздо лучше, несмотря на шесть лишних параметров (AIC 2936.7 против 3048.4, BIC 3035.7 против 3127.5). Утверждение на краю выборки выглядит как доминантный пункт (кривая утверждения крепкий при θ = 2 всё ещё растёт, там согласны 80%), поэтому признаки развёртывания видны на средних утверждениях, а шкала, все пункты которой лежат у её двух концов, не может различить эти две модели.

Информация пункта — вклад пункта в точность θ в каждой точке шкалы: функция θ, достигающая максимума вблизи трудности пункта и тем более высокая, чем выше его дискриминация. Тест из пунктов, вся информация которых сосредоточена при θ = 0, точно измеряет средних людей и плохо — крайних.

Информация теста — сумма информационных функций пунктов, то есть точность всего теста вдоль θ. Шесть пунктов кафе дают больше всего информации между θ = −2 и θ = 1, с максимумом 3.27 около θ = −0.65, и к θ = 2 она падает до 1.55. Опрос хорошо измеряет слегка недовольных и средних и плохо — восхищённых, потому что почти все пороги лежат ниже 1. Стандартная ошибка θ — величина, обратная квадратному корню из информации.

SE(θ) — стандартная ошибка θ человека: 1, делённая на квадратный корень из информации теста при его θ. Там, где информация опроса кафе равна 3.27, SE равна 0.55, а при θ = 2 — 0.80. Значит, тот же человек измерен с точностью примерно ±1.1 или ±1.6 при 95%-ной доверительной вероятности. В отличие от классической надёжности это точность для каждого человека, и именно благодаря ей IRT служит основой адаптивного тестирования.

Маргинальная надёжность — сводка точности теста IRT в классическом духе: одно число для всей выборки, доля дисперсии θ, не являющаяся ошибкой измерения, усреднённая по распределению выборки. Шесть пунктов кафе дают 0.75. Её аналог в классической теории — α или ω из анализа надёжности на тех же пунктах, и обычно они близки.

Эмпирическая надёжность — та же сводка, вычисленная непосредственно по оценкам θ и их стандартным ошибкам: здесь 0.75, совпадение до второго знака. Эти две надёжности расходятся, когда распределение θ в выборке далеко от предполагаемого.

Разделение испытуемых — отношение истинного разброса θ в выборке к ошибке измерения, здесь 1.71. Следующее из него число страт, 2.6, показывает, сколько различимых уровней черты тест способен разделить: около трёх, от недовольных через средних к довольным. Две страты или меньше означают, что тест делит людей лишь на две группы, с высоким и низким уровнем черты.

Нацеленность теста — насколько хорошо трудности пунктов расположены относительно θ выборки: разность между средним положением пунктов и средним положением людей в единицах θ. Пункты кафе в среднем лежат на 0.83 ниже участников: опрос «лёгкий» в том смысле, что согласие — обычный ответ. Поэтому точная часть шкалы лежит ниже середины выборки, как и показывает кривая информации теста.

Карта Райта помещает людей и пороги пунктов на одну ось θ рядом друг с другом: гистограмма θ с одной стороны, каждый порог отметкой с другой. Где пороги сгущаются, тест измеряет тонко, а где люди сгущаются, но порогов нет, их нельзя различить. На карте кафе пороги теснятся ниже −1 и редеют выше 1, а участники сосредоточены около 0.

Соответствие пунктов — следуют ли ответы на пункт его характеристической кривой, то есть соглашаются ли те, кто при своём θ должен соглашаться. Его статистики — χ², сравнивающий наблюдаемые и ожидаемые ответы в интервалах θ и выводимый как S-χ² с df и p (ни для одного пункта кафе соответствие модели не отвергается, ближе всех к этому вкус с χ²(27) = 38.6, p = 0.07), а также среднеквадратические статистики infit и outfit, принятые в традиции Раша.

S-χ² — χ² соответствия пункта. Значимое значение указывает на пункт, ответы на который не следуют кривой модели, а при многих пунктах p-значения корректируются. Толковать его следует как соответствие пунктов.

Infit — среднеквадратическая статистика соответствия, взвешенная в пользу людей, на которых пункт нацелен. Её ожидаемое значение 1. Выше примерно 1.5 пункт шумнее, чем ожидает модель (он измеряет что-то другое или неудачно сформулирован), ниже примерно 0.5 — предсказуемее, чем ожидает модель. У пункта вкус кафе infit равен 0.67, наименьший из шести. Это пункт слишком хороший для модели с одной чертой, потому что черта в основном им и определяется, и это второй признак двух измерений. Приложение выводит статистику как Infit MNSQ со стандартизованной формой Infit ZSTD, которая имеет смысл z-оценки.

Outfit — невзвешенный средний квадрат на той же шкале, что и infit, более чувствительный к неожиданным ответам людей, далёких от трудности пункта: например, очень довольного участника, не согласившегося, что еда была вкусной. У пункта вкус он равен 0.63. Выводится как Outfit MNSQ и Outfit ZSTD.

Соответствие испытуемых — тот же вопрос, заданный о каждом человеке: правдоподобен ли его набор ответов при его θ. Участник, полностью согласный, что продукты были свежими, и полностью не согласный, что еда была вкусной, дал набор ответов, которого модель не ожидала, и статистика Zh ниже −2 его отмечает. У кафе отмечены три участника, тогда как случайно было бы отмечено 4.6, так что выборка чистая. У отмеченного человека в тесте можно подозревать угадывание, списывание или невнимательность, в опросе — небрежные ответы.

Локальная независимость — допущение, что при учтённом θ пункты не связаны между собой: общее у двух пунктов — только черта и ничего больше. Это форма одномерности в IRT, и она нарушается, когда у двух пунктов общая формулировка, содержание или второе измерение.

Локальная зависимость — нарушение локальной независимости. Её находят, коррелируя остатки каждой пары пунктов после подгонки модели: это Q3 Йена. Обычный признак — Q3 больше 0.2 по модулю. На шести пунктах кафе как одной черте пара приветливо–быстро даёт 0.28, быстро–медленно — 0.28, приветливо–медленно — 0.21: пункты об обслуживании связаны сильнее, чем объясняет одна удовлетворённость. А пара вкус–быстро даёт −0.33, то есть пункты о еде и об обслуживании связаны слабее. Это признак второго измерения, увиденный изнутри модели.

Q3 Йена — статистика локальной зависимости под её обычным названием, толкуется как локальная зависимость. В описательной таблице тот же символ Q3 означает третий квартиль (столбец 3-й квартиль).

Многомерная IRT (MIRT) помещает каждого человека сразу на несколько черт, причём каждый пункт зависит от одной или нескольких из них, как в факторном анализе, но ответы моделируются как категории. Она бывает в тех же двух формах, что и факторный анализ: разведочной, где каждый пункт может быть нагружен на каждое измерение, а понятным решение делает вращение, и конфирматорной, где пункты заранее отнесены к своим измерениям. На пунктах кафе конфирматорная двумерная модель градуированных ответов (Еда на вкус, свежесть и цена, Обслуживание на приветливо, быстро и медленно) согласуется с данными гораздо лучше единой черты этой страницы (AIC 3446.6 против 3495.6, BIC 3548.8 против 3594.6). Многомерная подгонка берёт пункты в том виде, в каком на них ответили, что бы ни было отмечено в списке обратных пунктов, так что медленно нагружен отрицательно. Стандартизованные нагрузки равны 0.86, 0.68 и 0.61 на Еду и 0.65, 0.71 и −0.64 на Обслуживание, а при генерации кафе были заданы 0.75, 0.70 и 0.60 и 0.75, 0.65 и 0.60. Две черты коррелируют на уровне 0.46 при заложенных 0.5. Разведочная двумерная подгонка с вращением облимин без подсказок находит то же разделение (каждый пункт нагружен на своё измерение по модулю от 0.59 до 0.84 и не больше 0.15 на другое), но при более высоком BIC (3564.9): она потратила четыре лишних параметра, чтобы найти то, что конфирматорная модель предполагала заранее.

Компенсаторная модель — многомерная модель, в которой черты складываются: ответ зависит от взвешенной суммы положений человека, так что высокое значение одной черты возмещает низкое значение другой. Стандартные модели MIRT, включая двумерную модель кафе, компенсаторные, и это подходит для пункта, на который человек может хорошо ответить несколькими путями.

Частично компенсаторная модель вместо сложения перемножает: вероятность верного ответа — произведение вероятностей успеха по каждой черте, так что должны присутствовать все черты, нужные пункту. Текстовой задаче по математике нужны и чтение, и арифметика, и никакой избыток одного не возместит недостатка другого. Модель определена для пунктов «верно/неверно» и бывает только конфирматорной: какие черты нужны каждому пункту, указывают заранее.

Дифференциальное функционирование пунктов — различное поведение пункта в двух группах людей с одинаковым θ: вопрос, который при равной удовлетворённости труднее для участников одного филиала, чем другого. Это свойство пункта, а не групп. Группа, которая действительно более довольна, отличается по θ, и такое различие называют импактом (impact), а не DIF. DIF — форма нарушения измерительной инвариантности в IRT, проверяемая пункт за пунктом. Если подогнать три пункта о еде по филиалам, свежесть и цена отмечаются с p = 0.035 каждый, а вкус нет (p = 0.08). Но размеры эффекта в приложении равны 0.06 и −0.11 на шкале ожидаемого балла, то есть пренебрежимо малы для пункта 1–5, а о DIF пренебрежимого размера сообщают, но мер не принимают. В однофакторной модели на шести пунктах отмечаются пять пунктов: филиалы различаются по Обслуживанию, а у модели нет Обслуживания, на которое можно было бы отнести различие. Неверная модель порождает DIF.

Равномерный DIF — различие только в трудности: пункт труднее для одной группы при любом θ. Именно такие отметки получили пункты о еде выше.

Неравномерный DIF — различие ещё и в дискриминации, так что пункт благоприятствует одной группе при низком θ и другой при высоком. Приложение проверяет его отдельно, и ни у одного пункта о еде его нет (p от 0.30 до 1.00).

Якорные пункты — пункты, предположительно свободные от DIF, которые помещают две группы на одну шкалу θ, чтобы остальные пункты можно было проверить относительно них. Приложение выбирает их, проверяя каждый пункт относительно всех остальных и оставляя чистые, или берёт заданный набор. Шкалу, у которой нет ни одного чистого якоря, на DIF проверить нельзя вовсе.

Ожидаемый балл — ответ, который модель предсказывает человеку с данным θ: сумма по категориям каждого ответа, умноженного на его вероятность. Ожидаемый суммарный балл — его сумма по пунктам, то есть кривая, переводящая θ обратно в шкалу сырых баллов опроса. Участник с θ = 0 должен набрать около 21 из 30 на шести пунктах, если медленно учитывать перевёрнутым.

Сырой балл — простая сумма ответов человека на пункты, с перевёрнутыми обратными пунктами: в опросе кафе от 6 до 30. В модели Раша он содержит всю информацию о θ, а в 2PL нет, поскольку два человека с одинаковым сырым баллом могли ответить на пункты с разной дискриминацией. Таблица пересчёта баллов в приложении сопоставляет каждому сырому баллу θ и его стандартную ошибку (6 соответствует −2.86), так что результаты можно приводить в любой из двух шкал.

EAP — апостериорное ожидание — оценка θ, которую приложение использует по умолчанию: среднее правдоподобия ответов человека, объединённого с распределением в совокупности. Это слегка стягивает крайние оценки к центру и даёт конечную оценку любому набору ответов, включая одни единицы и одни пятёрки, где максимальное правдоподобие дало бы ±∞. По той же причине её стандартная ошибка меньше, чем у оценки максимального правдоподобия. Альтернативы, MAP, MLE и WLE, описаны ниже, а выбирают между ними настройкой Метод расчёта оценок.

Максимум апостериорной плотности (MAP) — оценка θ в вершине апостериорного распределения человека (правдоподобия его ответов, объединённого с распределением в совокупности), тогда как EAP берёт его среднее. Как и EAP, она конечна для любого набора ответов и стянута к центру, и обычно две оценки близки. У участников кафе оценки MAP лежат от −2.50 до 1.90, а EAP — от −2.53 до 1.99, со стандартными отклонениями 0.86 и 0.87.

MLE — оценка максимального правдоподобия — θ, при котором ответы человека наиболее вероятны, найденное только по ответам. Распределения в совокупности нет, поэтому нет и стягивания к центру, и о выборке ничего не предполагается. Платить за это приходится на краях. Оценка смещена наружу (высокий балл оценивается ещё выше), её стандартная ошибка больше, а для экстремального набора ответов она не существует, поскольку правдоподобие продолжает расти при θ, стремящемся к ±∞. Оценки MLE участников кафе имеют стандартное отклонение 1.19 и доходят до −3.87 со стандартной ошибкой 0.95, тогда как EAP останавливается на −2.53.

WLE — взвешенная оценка правдоподобия Варма — это MLE с поправкой, устраняющей смещение наружу: она максимизирует правдоподобие, взвешенное квадратным корнем из информации теста. Она сохраняет то, что есть у MLE (никакого распределения в совокупности, никакого сжатия), и получает конечную оценку для экстремальных наборов. Её оценки разбросаны почти так же широко, как у MLE, со стандартным отклонением 1.16 на пунктах кафе. Это обычный выбор в практике модели Раша и везде, где оценка не должна зависеть от совокупности, на которой её получили.

Сжатие оценки θ — стягивание байесовской оценки (EAP или MAP) к центру распределения в совокупности, сильнее всего у тех, кого тест измеряет хуже всего. В среднем это делает каждую оценку лучшим приближением к θ человека, но разброс оценок становится меньше разброса черты. Оценки EAP кафе имеют стандартное отклонение 0.87 при черте со стандартным отклонением 1, а 0.87 — это квадратный корень из маргинальной надёжности, 0.75: сжатие убирает ту долю дисперсии черты, которую шесть пунктов измерить не могут. Разброс или групповое различие, вычисленные по сжатым оценкам, занижены, и крайняя группа выглядит менее крайней. Оценки MLE и WLE не сжимаются, а свою ошибку показывают как дополнительный разброс (стандартные отклонения 1.19 и 1.16 у кафе).

Экстремальный набор ответов — ответы только в самой низкой или только в самой высокой категории: на все пункты ответ 1 или на все ответ 5. Такой набор показывает лишь, что человек находится за пределами диапазона, который охватывают пункты, но не насколько далеко. У MLE конечной оценки нет, WLE даёт большую оценку с большой стандартной ошибкой, а EAP и MAP дают конечную, которую удерживает распределение в совокупности. Два участника кафе дали на все шесть пунктов самый довольный ответ: 5 на пять положительно сформулированных и 1 на медленно. EAP помещает их в 1.99, MAP в 1.90, WLE в 3.63 со стандартной ошибкой 1.69 (видно, как мало шесть пунктов способны сообщить о человеке в верхней части шкалы), а MLE оставляет их без оценки. Чем больше таких наборов в выборке, тем важнее выбор метода оценки и тем больше тесту нужны пункты у этого края шкалы.

Непараметрическая IRT: шкалы Моккена #

Модели выше задают форму (логистическую кривую) того, как вероятность каждого ответа растёт с θ, и оценивают её параметры. Анализ шкал Моккена предполагает только, что кривая растёт, и проверяет, ведут ли себя пункты так: можно ли сложить ответы на них в балл, упорядочивающий людей по черте. Он не подгоняет модель и не требует большой выборки, поэтому в руководстве по IRT его выполняют до того, как выбрана параметрическая модель. Числа ниже относятся к шести пунктам кафе как одной шкале, причём медленно выбран в списке Обратные пункты, чтобы диагностика брала его перевёрнутым, как и подгонки выше.

Непараметрическая IRT — теория тестовых заданий без формулы для характеристической кривой пункта. От кривой требуется лишь определённое свойство (никогда не убывать или никогда не пересекать кривую другого пункта), и данные проверяются на него. Такой подход отказывается от θ на интервальной шкале и от параметров пунктов, но сохраняет упорядочение людей по суммарному баллу, а большинство опросников ради него и используют. Набор пунктов, не прошедший непараметрическую проверку, не пройдёт и параметрических моделей, построенных на том же допущении, так что эта проверка — более дешёвый первый взгляд.

Ошибка Гуттмана — пара ответов, противоречащая порядку пунктов: согласие с более трудным пунктом пары при несогласии с более лёгким. В идеальной шкале, шкале Гуттмана, таких ошибок никто не делает: каждый, кто согласен, что цена оправданна, согласен и с тем, что еда была вкусной, поскольку с пунктом цена согласиться труднее. Реальные пункты такие ошибки дают, и H Лёвингера сравнивает их число с тем, которое дали бы два несвязанных пункта.

H Лёвингера — коэффициент масштабируемости — единица минус отношение числа ошибок Гуттмана в данных к числу, ожидаемому при несвязанных пунктах. 1 означает идеальную шкалу, 0 — пункты, ничем не связанные между собой, а отрицательное значение — пункт, направленный против остальных, обычно неперевёрнутый обратный пункт. Коэффициент бывает в трёх формах. H_ij относится к одной паре пунктов: у пары вкус и свежесть он равен 0.53, у пары цена и медленно едва достигает 0.07. H_i относится к одному пункту против всех остальных, а H — ко всему набору. Весь набор оценивают по диапазонам Сейтсмы и Моленара: ниже 0.3 — не шкала; от 0.3 до 0.4 — слабая; от 0.4 до 0.5 — умеренная; от 0.5 — сильная. Пункт входит в шкалу при H_i от 0.3. Шесть пунктов кафе дают H = 0.299 (SE 0.034) при значениях по пунктам от 0.24 у пункта цена до 0.35 у пункта свежесть. Как единая шкала они немного не достигают планки, а ниже планки два пункта, цена (0.24) и медленно (0.27). Это снова два измерения: пункт о еде и пункт об обслуживании плохо образуют шкалу с другой тройкой.

Шкала Моккена — набор пунктов, в котором у каждой пары H_ij положителен, а у каждого пункта H_i не ниже нижней границы c, по соглашению 0.3. Суммарный балл такого набора упорядочивает людей по одной черте в модели монотонной однородности. Шесть пунктов кафе как один набор такой шкалой, судя по числам выше, не являются, а три пункта о еде и три пункта об обслуживании по отдельности являются, как находит автоматический подбор шкал.

Монотонная однородность — модель Моккена: одна черта, локальная независимость и монотонность, то есть вероятность более высокого ответа на каждый пункт никогда не падает с ростом черты. В этой модели суммарный балл упорядочивает людей по θ, так что более высокий балл можно толковать как большую выраженность черты, не предполагая никакой кривой. Монотонность проверяют пункт за пунктом: людей группируют по остаточному баллу (сумме по остальным пунктам) и проверяют, что доля ответивших не ниже каждой категории не падает от группы к группе. Падение больше случайного — нарушение. У пунктов кафе нарушений нет.

Двойная монотонность добавляет к монотонной однородности одно условие: кривые пунктов не пересекаются, так что порядок трудности пунктов один и тот же на любом уровне черты. С пунктом, с которым недовольным согласиться легче, легче согласиться и восхищённым. Именно это позволяет упорядочивать не только людей, но и пункты. Приложение проверяет это двумя способами: инвариантным упорядочением пунктов, пункт за пунктом, и проверкой непересечения по остаточному баллу, которая ищет пересечения между кривыми шагов каждой пары пунктов. На пунктах кафе проверка непересечения находит одно небольшое пересечение, между быстро и медленно, и оно незначимо: его индекс серьёзности, crit, равен 15 и 17 для двух пунктов, тогда как 40 — планка для нарушения, заслуживающего внимания, а 80 — для серьёзного.

Инвариантное упорядочение пунктов (IIO) — свойство пунктов иметь один порядок трудности, который выполняется для каждого респондента, а не только в среднем. Когда оно выполняется, утверждение «участники охотнее соглашаются, что персонал был приветлив, чем что цена оправданна» верно для каждого участника, и сам порядок пунктов можно толковать: лестница навыков, иерархия симптомов. Его проверяют пункт за пунктом и обобщают коэффициентом H_T, то есть H Лёвингера, вычисленным с переставленными ролями людей и пунктов. Он показывает, насколько чётко упорядочены пункты, и значение 0.3 и выше поддерживает порядок, которым стоит пользоваться. У пунктов кафе нарушений нет, а H_T равен 0.026. Ничто не противоречит единому порядку, но средние шести пунктов лежат так близко (от 3.34 до 3.79), что порядка почти нет. Пункты об удовлетворённости составляют параллельными, а не ранжированными, и IIO стоит требовать от шкалы, пункты которой должны образовывать лестницу.

Автоматический подбор шкал (AISP, процедура автоматического отбора пунктов) разбивает набор пунктов на шкалы Моккена. Шкала начинается с пары с наибольшей масштабируемостью, затем к ней добавляется пункт, при котором H остаётся наибольшим, а H_i каждого пункта не опускается ниже нижней границы c. Когда ни один пункт больше не может войти, из оставшихся начинается вторая шкала. От выбора c зависит строгость шкалы, поэтому приложение выполняет подбор при каждом c от 0 до 0.55, а разбиение принимают там, где оно сохраняется при соседних значениях. Шесть пунктов кафе образуют одну шкалу до c = 0.20 и две шкалы от 0.25 до 0.40: вкус, свежесть и цена в одной, приветливо, быстро и медленно в другой, то есть Еда и Обслуживание из факторного анализа. При 0.45 цена и медленно выпадают. Устойчивый ответ — две шкалы. Поиск добавляет пункты по одному и никогда не пересматривает сделанный выбор, поэтому может остановиться на хорошем разбиении, а не на лучшем.

Отчёт #

Для разведочного факторного анализа сообщают пункты, тип корреляций, метод извлечения и вращение, проверки пригодности (KMO, Бартлетт), то, как выбиралось число факторов и что дали правила, нагрузки после вращения с общностями и объяснённой дисперсией, а при косоугольном вращении — корреляции факторов. «Шесть пунктов; извлечение методом минимальных остатков с вращением облимин по корреляциям Пирсона; KMO = 0.73, критерий Бартлетта χ²(15) = 229.1, p < 0.001; параллельный анализ и критерий Кайзера указали на два фактора, объяснивших 44% дисперсии; нагрузки 0.59–0.76 на Еду и 0.58–0.72 по модулю на Обслуживание, обратный пункт нагружен отрицательно, перекрёстных нагрузок выше 0.17 нет; r(Еда, Обслуживание) = 0.39».

Для конфирматорной модели сообщают модель словами или диаграммой, метод оценки, выборку и способ обработки пропущенных данных, χ² с df и p, CFI, TLI, RMSEA с 90%-ным интервалом, SRMR, стандартизованные нагрузки или пути с их p-значениями, а для шкалы — AVE и составную надёжность. «Двухфакторная КФА (ММП, n = 200) хорошо согласуется с данными: χ²(8) = 6.41, p = 0.60, CFI = 1.00, TLI = 1.01, RMSEA = 0.000 (90%-ный ДИ 0.000–0.071), SRMR = 0.034; стандартизованные нагрузки 0.57–0.77 по модулю; r = 0.45; AVE 0.46 и 0.41, CR 0.71 и 0.67». Для инвариантности приводят каскад таблицей (χ², df, CFI и RMSEA каждого уровня с Δχ² и ΔCFI относительно предыдущего) и достигнутый уровень.

Для анализа IRT сообщают модель и метод оценки, свидетельства одномерности и локальной независимости, параметры пунктов со стандартными ошибками, статистики соответствия пунктов, маргинальную надёжность или диапазон информации теста, а также проверку DIF, если она проводилась, с размерами эффекта. Нужно указать, какой метод расчёта θ использован. Для анализа Моккена сообщают H со стандартной ошибкой и H_i пунктов, проверки монотонности и инвариантного упорядочения пунктов с H_T и разбиение, полученное автоматическим подбором, с тем c, при котором оно принято.

Где это встречается в DataSuite #

• Факторный анализ — проверки пригодности, правила выбора числа факторов и их график, АГК и РФА со всеми методами извлечения и вращения, нагрузки, общности, объяснённая дисперсия, корреляции факторов и факторные оценки, индексы соответствия для РФА, а также бифакторные модели и модели Шмида — Леймана.
• Конфирматорный факторный анализ — редактор измерительной модели, индексы соответствия, стандартизованные оценки, R², индексы модификации, остатки, конвергентная и дискриминантная валидность, а также каскад проверки измерительной инвариантности с латентными средними.
• Моделирование структурными уравнениями — регрессии между латентными переменными, путевой анализ, медиация с бутстрэп-оценками косвенных эффектов, многогрупповые модели и сравнение моделей.
• Анализ IRT — анализ шкал Моккена с коэффициентами масштабируемости, проверками монотонности и упорядочения и автоматическим подбором шкал; параметры пунктов во всех описанных выше семействах моделей, разведочные и конфирматорные многомерные модели, характеристические и информационные кривые, оценки θ всеми четырьмя методами с их стандартными ошибками, надёжность и разделение испытуемых, соответствие пунктов и испытуемых, локальная зависимость, DIF и карта Райта.
• Анализ надёжности — α, ω и классические коэффициенты для шкалы, структуру которой подтверждают модели этой страницы, а также обратное кодирование пунктов.
• Преобразование данных — обратное кодирование копии пункта в виде новой переменной, когда нужен балл шкалы. Сами ответы остаются в исходном виде, и это нужно модулю IRT для проверки на небрежные ответы.