Анализ распределения — методические заметки #

Решения, на которых построен модуль анализа распределения: какие соглашения, правила, нижние границы и запасные варианты стоят за каждым столбцом, критерием и графиком, и подтверждающие их числа. Все числа получены на наборе-примере (cafe.ru.csv, спецификация лежит рядом). Разделы следуют разделам руководства.

Таблицы частот #

Параметры таблиц частот #

Накопленные столбцы считаются по валидным наблюдениям и скрываются при сортировке по количеству. Накопленный процент, учитывающий пропуски, недотягивал бы до 100% ровно на долю пропусков, причём в каждой таблице на свою величину. Поэтому нарастающие количество и доля считаются только по непропущенным строкам, как принято в SPSS, и последняя валидная строка приходится ровно на 100% при любом числе пустых строк. Доля пересчитывается в каждой строке как отношение нарастающего количества к числу валидных строк, а не складывается из округлённых процентов строк, сумма которых отошла бы от 100 на ошибку округления. Сортировка по количеству превращает ось значений в последовательность, вдоль которой нарастающий итог ничего не значит. Поэтому при ней оба столбца не выводятся (иначе их числа принимали бы за накопленные), а пояснение под таблицей называет сортировку, которая их вернёт.

В строке итогов пусты все ячейки, у которых нет промежуточного итога. Строка учитывает все строки данных, включая пропущенные, поэтому её количество и процент — это всё целое и 100%. Валидный процент в ней равен 100% только при отсутствии пропусков, поскольку при пропусках валидные проценты строк значений и без неё дают в сумме 100%. Накопленные ячейки пусты всегда: итог не является шагом нарастающего счёта по валидным строкам, а повторённое последнее значение выглядело бы как такой шаг. Обычный столбец процентов убирается, когда показан валидный процент и в переменной нет пропусков, ведь тогда оба столбца совпали бы до последней цифры.

При сортировке по количеству сжатая таблица остаётся в порядке значений. Диапазоны сжатой таблицы образуют непрерывную ось, и сортировка по количеству поставила бы четвёртый диапазон выше первого, причём по самой строке этого не было бы видно. Поэтому таблица сохраняет порядок значений, а пояснение сообщает о замене. Несжатая таблица (категориальная переменная или числовая в пределах порога Максимум категорий) сортируется по количеству, как задано, а равные по частоте значения идут в порядке значений, чтобы порядок воспроизводился.

Границы равного количества проходят между различными значениями, поэтому одинаковые значения никогда не попадают в два диапазона. Границы — не сами выборочные квантили. Упорядоченные значения просматриваются блоками совпадений, и диапазон закрывается на первом новом значении после того, как нарастающее количество достигло очередного кратного n ⁄ k. Благодаря этому одинаковые значения всегда оказываются в одном диапазоне, а диапазоны равны по количеству лишь приблизительно. На данных с большим числом совпадений значения могут закончиться раньше, чем будут расставлены k границ. Тогда совпавшие границы схлопываются, таблица показывает оставшиеся диапазоны, а пояснение под ней называет запрошенное и фактическое число: пустые диапазоны, добавленные для счёта, исказили бы данные. Диапазоны равной ширины совпадают с интервалами гистограммы, так что таблица и гистограмма одной переменной согласуются. Пустой диапазон равной ширины сохраняется, потому что без него ось прервалась бы.

Проверка. Десять диапазонов равного количества по 185 значениям времени ожидания в кафе содержат 19, 18, 23, 17, 19, 15, 19, 18, 20 и 17 наблюдений (в среднем около 18.5, остальное решают совпадения) и подписаны 0.3..1.9, 2.0..2.6, 2.7..3.5 и так далее до 9.2..19.9.

Числовая переменная подсчитывается по отдельным значениям, пока не включено сжатие, и таблица никогда не обрезается. У непрерывной переменной таблица получается длиной в число различных значений. Сгруппировать её без запроса или обрезать таблицу значило бы выдать не то, что просили, поэтому таблица выводится полностью, а пояснение под ней сообщает число различных значений и называет флажок, который их группирует. Пояснение сверяется с полем Максимум категорий и при выключенном сжатии, так что по умолчанию оно появляется, как только различных значений больше 20. При сжатии переменная, у которой различных значений не больше этого числа, остаётся разбитой по значениям, чтобы пункт шкалы Лайкерта или счётная переменная не превращались в никому не нужные диапазоны. Порог 20 по умолчанию выбран из соображений читаемости, а не статистики.

Проверка. Без сжатия время ожидания в кафе даёт 82 строки, и пояснение сообщает о 82 различных значениях. Общая оценка по шкале от 0 до 10 принимает 10 различных значений и при сжатии с порогом по умолчанию выводится по отдельным значениям.

Как читать таблицу частот #

Подписи диапазонов переходят к следующему значению с шагом, равным разрешению самих данных, а если точность отображения этого не позволяет, переходят на форму ..<. Подпись вида 170..178 называет значения диапазона включительно, а следующий диапазон начинается со 179, поэтому ни одна граница не печатается дважды и не возникает вопроса, к какому диапазону относится значение на краю. Шаг определяется наименьшим числом знаков после запятой, при котором каждое значение переменной печатается точно, так что у данных с одним знаком шаг равен 0.1. Для этого настройка точности должна охватывать знаки данных. Если данные точнее (три знака при отображении двух), подписи с таким шагом могли бы показать два диапазона, сходящихся на одном напечатанном значении, и тогда исключение верхней границы передаёт сама подпись: 170.00..<180.00, то есть до верхней границы, но не включая её. Такая подпись печатается с точностью отображения, при необходимости увеличенной настолько, чтобы границы самого узкого диапазона различались. Последний диапазон в обоих случаях замкнут, поскольку его верхняя граница — истинный максимум.

Критерии нормальности #

Доступные критерии #

Каждый критерий выполняется только в пределах объёмов, которые допускает его реализация в R, а постоянная переменная отклоняется заранее. Нижние границы проходят там, где функции R завершаются ошибкой или не определены: shapiro.test принимает от 3 до 5000 значений, nortest::sf.test — от 5 до 5000, nortest::ad.test и nortest::cvm.test — от 8, nortest::lillie.test — от 5. moments::agostino.test отказывает выше 46 340 значений, где перестаёт работать его нормальная аппроксимация, и это ограничивает статистику K². Исключение — нижняя граница 4 у критерия Харке — Бера: moments::jarque.test работает на любой выборке больше одного значения, так что 4 — граница надёжности, а не отказа функции. Если переменная выходит за пределы критерия, в его ячейке выводится сообщение, а остальные критерии выполняются. Критерий, которому не подходит ни одна выбранная переменная, в R вообще не отправляется, что экономит загрузку пакета и избавляет от ошибок по каждой переменной. Все поддерживаемые критерии требуют разброса и на постоянных данных выдают малопонятную ошибку R, поэтому переменная, у которой все валидные значения одинаковы, ещё до обращения к R помечается как Нулевая дисперсия для каждого критерия.

Вместо обычного критерия Колмогорова — Смирнова используется поправка Лиллиефорса. Значение p классического критерия предполагает, что эталонное распределение задано заранее. Когда среднее и SD оценены по выборке (а при проверке нормальности иначе не бывает), подогнанное нормальное распределение прилегает к данным, и обычное p получается сильно завышенным. Поэтому обычный критерий не предлагается, а исправленное p даёт nortest::lillie.test.

Статистика K² критерия Д’Агостино — Пирсона собирается из критериев асимметрии и эксцесса, а результаты этого критерия и критерия Харке — Бера при n < 20 считаются ориентировочными. Пакет moments экспортирует обе составляющие, но не общий критерий, поэтому приложение объединяет z асимметрии из agostino.test и z эксцесса из anscombe.test как $K^2=z_s^2+z_k^2$ и берёт p из распределения χ² с 2 степенями свободы. Это стандартный общий критерий, и поэтому строка ссылается на оба источника. Оба критерия опираются на асимптотическую нормальность двух z, которая наступает примерно с двадцати наблюдений. Принудительно же они ограничены только техническими нижними границами 8 и 4, поэтому руководство лишь предупреждает, что ниже 20 результат ориентировочный, и не отказывает выборкам, посильным для функций.

Проверка. На 185 значениях времени ожидания в кафе K² = 53.72 (p < 0.001), а статистика Харке — Бера равна 132.48. На 200 значениях чека до смены меню, асимметрия которых 0.45, K² = 6.88 (p = 0.032) и JB = 6.80 (p = 0.033).

Как читать таблицу критериев #

Сводка согласия — трёхуровневый вердикт, а не голосование. Выбранные критерии проверяют одну нулевую гипотезу на одной выборке, так что их исходы сильно коррелированы, и «четыре из семи отвергли» — не величина с известным распределением. Правило большинства выдавало бы совпадение чувствительностей критериев за свидетельство. Поэтому столбец сообщает счёт и один из трёх вердиктов: ни один критерий не отвергает нормальность, её отвергают все вычисленные критерии или критерии расходятся. Расхождение выводится как неоднозначные свидетельства, а не разрешается в чью-либо пользу. Критерий, который не удалось выполнить, учитывается отдельно и в счёт не входит.

Проверка. На чеке до смены меню нормальность на уровне 0.05 отвергают четыре критерия из семи: Шапиро — Уилка (W = 0.98, p = 0.013), Шапиро — Франсия (p = 0.027), Д’Агостино — Пирсона и Харке — Бера. Критерии Андерсона — Дарлинга (p = 0.068), Лиллиефорса (p = 0.303) и Крамера–фон Мизеса (p = 0.114) её не отвергают, и в столбце стоит 4/7 критериев: неоднозначные свидетельства.

Вердикт опирается на уровень значимости для проверки допущений, а не на основной. Нулевая гипотеза этих критериев — «распределение нормально», поэтому более строгой проверке соответствует более высокий порог. Если бы вердикт следовал основному α, пользователь, снизивший его до 0.01 для своих гипотез, сделал бы проверку нормальности мягче, то есть получил бы обратное тому, чего хотел. Как раз для такой перевёрнутой нулевой гипотезы и существует уровень значимости для проверки допущений. На этот же уровень опираются все остальные проверки допущений в приложении (Проверить допущения в модуле сравнения, критерии пригодности данных в факторном анализе и в моделях структурных уравнений), так что переменная, проверенная и здесь, и там, получает один вердикт по одному p. Ячейки p и статистики выделяются и отмечаются звёздочками на том же уровне, а не на основном, поэтому оформление строки согласуется с её вердиктом при любых значениях двух уровней. Какие таблицы на какой уровень опираются, определяет настройка форматирования значимости.

Графики распределения #

Гистограмма #

Автоматический выбор — правило Фридмана — Диакониса начиная с 30 значений и правило Стерджеса при меньшем числе. Запасным тоже служит правило Стерджеса, а число интервалов ограничено 1000. Правило Фридмана — Диакониса определяет ширину интервала по МКР и потому выдерживает выброс, который растянул бы ширину по Скотту, основанную на SD. Но ему нужна выборка, на которой МКР устойчив, отсюда переход на 30 значениях. Правила Скотта и Фридмана — Диакониса делят размах на ширину, зависящую от разброса, и вырождаются, когда разброс нулевой при ненулевом размахе (ширина 0 и бесконечное число интервалов), а при размахе, растянутом выбросами, и крошечном МКР могут потребовать миллионы интервалов. Вырожденная ширина заменяется правилом Стерджеса, и тогда ссылки называют источником интервалов именно его. Число интервалов, кроме того, ограничено 1000, что далеко за пределами читаемого. Число, которое возвращает правило, — лишь ориентир: затем ось расставляет интервалы по круглым значениям, и нарисованных интервалов может оказаться больше или меньше.

Проверка. Для 185 значений времени ожидания в кафе (МКР 3.9) правило Фридмана — Диакониса даёт ширину $2\cdot 3.9/{185}^{1/3}=1.37$ минуты и ориентир в 15 интервалов на размахе 19.6 минуты, а нарисовано 20 интервалов по целой минуте. Правило Стерджеса дало бы 9.

Целочисленные данные с немногими значениями при автоматическом выборе получают столбец на значение, а явно выбранное правило это отменяет с пояснением. Интервалы, пересекающие целые числа, искажают пункт шкалы Лайкерта или счётную переменную: интервал от 2.5 до 3.5 содержит только тройки, а интервал от 1 до 2 сливает два ответа. Поэтому целочисленные данные, у которых не больше 50 различных значений, рисуются по столбцу на значение. Пока промежуток значений не шире 50 и встречается хотя бы половина целых чисел из него, компоновка идёт в масштабе: на каждое целое приходится столбец единичной ширины, а на месте отсутствующего остаётся зазор нулевой высоты. Если нарушено любое из условий, пустые места заняли бы весь график. Тогда каждое присутствующее значение получает столбец равной ширины, столбцы расставляются равномерно и подписываются, ось перестаёт быть в масштабе, а кривые плотности и нормального распределения, бессмысленные на такой оси, не рисуются, о чём сообщает пояснение. Правило, выбранное по названию, соблюдается и на целочисленных данных, поскольку список, без предупреждения возвращающийся к Автоматически, вводил бы в заблуждение. Пояснение под графиком сообщает, что правило применено, и напоминает про Автоматически.

Проверка. Общая оценка в кафе, десять различных целых значений от 1 до 10, рисуется десятью столбцами в масштабе, а время ожидания со значениями до десятых обрабатывается как непрерывная переменная.

Кривая плотности строится гауссовым ядром с робастной шириной окна Сильвермана, на плотных целых данных ограниченной снизу, и наносится на ось, откалиброванную по количеству. Правило Сильвермана, $0.9\sigma n^{-1/5}$, выведено для гауссова ядра, поэтому используется гауссово ядро и пересчитывать ширину к канонической не нужно. В качестве разброса берётся меньшее из SD и МКР ⁄ 1.349, чтобы тяжёлый хвост не сглаживал основную часть распределения сверх меры. На плотных целых данных (при том же условии, что и для компоновки в масштабе) ширина окна по данным может оказаться меньше шага между целыми, и кривая распадается на пики над каждым целым, поэтому ширина ограничена снизу 0.75 шага. При нулевой ширине (нет разброса или одно значение) кривая не рисуется вовсе, чтобы не делить на ноль. Кривая плотности и кривая нормального распределения наносятся на ось количества через количество = плотность × n × ширина интервала, причём берётся средняя ширина интервала, чтобы более узкий крайний интервал округлённой оси не занижал масштаб. Правая ось плотности повторяет ось количества через тот же множитель, так что шкалы откалиброваны, а не произвольны. Ось и легенда появляются, только если кривая действительно нарисована.

Проверка. Ширина окна для времени ожидания — 0.92 минуты (разброс 2.89 по МКР против SD 2.91). Для общей оценки ширина по данным была бы не больше 0.60 и поднята до 0.75.

Асимметрия и эксцесс — оценки G₁ и G₂ с поправкой на смещение. Это те же оценки, что в описательной статистике, поэтому подпись совпадает и с таблицей, и с пакетами, в которых её станут проверять. Если хотя бы одна из них не определена (меньше четырёх значений или нет разброса), подпись не выводится вовсе, а не печатается как NaN.

Проверка. Для времени ожидания подпись гласит асимм. = 1.27, эксцесс = 3.42, для общей оценки — асимм. = −0.58, эксцесс = 0.32, как и в таблице.

Ящик с усами #

Квартили — тип 7, а не шарниры Тьюки. Функция R boxplot рисует шарниры Тьюки, которые на малых выборках и выборках чётного объёма отличаются от квартилей линейной интерполяции. Приложение рисует квартили типа 7, на которых построены описательная таблица, интервалы и подсчёт выбросов, так что ящик, таблица и число выбросов одной переменной согласуются, хотя ящик может немного отличаться от нарисованного в R. Усы и выбросы задаются границами Тьюки на расстоянии 1.5 МКР от этих квартилей. Границы вычисляются один раз на график и используются при каждом изменении размера. Переменная с одним значением или без разброса рисуется плоским ящиком, а не отбрасывается, поскольку её пятичисловая сводка определена (как и в R).

Проверка. Время ожидания в кафе даёт ящик от 3.0 до 6.9 вокруг медианы 4.9, границы −2.85 и 12.75, усы, которые заканчиваются на 0.3 и 11.9, и два выброса, 16.3 и 19.9. Те же квартили и то же число выбросов стоят в описательной таблице.

Вырез — интерполированный интервал для медианы, ограниченный краями ящика. Интервал Хеттманспергера — Шизера строится по порядковым статистикам, не зависит от распределения и на скошенных данных несимметричен. В описательной статистике та же конструкция доступна как интерполированный вариант, и появился он именно ради выреза. Интервал строится на уровне доверия из настроек, а не как фиксированные ±1.58 МКР ⁄ √n выреза в R, которые предполагают нормальность. Интервал шире ящика вывел бы вырез за края ящика, и получилась бы вывернутая фигура, которая ничего не означает. Поэтому вырез ограничивается краями ящика, а группы, где это произошло, называются в пояснении. Группа, слишком малая, чтобы какая-либо пара порядковых статистик достигла уровня, выреза не получает и тоже называется. Интервал вычисляется только при первом рисовании выреза, поскольку на каждую группу он стоит O(n log n).

Проверка. 95-процентный интервал для времени ожидания — от 4.3 до 5.3, внутри ящика, поэтому вырез рисуется без ограничения.

Выбросы остаются среди смещённых точек. Когда точки данных включены, каждое наблюдение рисуется с небольшим смещением в сторону (джиттером). Смещение задаётся детерминированной хеш-функцией номера наблюдения и группы, так что при перерисовке ничего не сдвигается, а у соседних групп не повторяется один узор. Выбросы сохраняют ромб на своём смещённом месте, а не складываются стопкой на центральной линии, где тяжёлый хвост слился бы в одну метку. Флажок выбросов тогда управляет только маркером, а не тем, рисуется ли значение.

График Q-Q #

Точки стоят на позициях построения из R, линия проводится как в qqline, а экспоненциальная линия проходит через начало координат. Упорядоченное значение с номером i ставится на квантиль уровня $(i-a)/(n+1-2a)$, где a = 3⁄8 по Блому до десяти значений и ½ по Хазену при большем числе (функция R ppoints), так что график совпадает с qqnorm при любом n. Эталонная линия проходит через первый и третий квартили обеих осей, как в qqline: она устойчива к хвостам, и на ней строится доверительная полоса. У экспоненциального семейства есть только масштаб, без сдвига, поэтому линия по квартилям получила бы ложный свободный член. Экспоненциальная линия проходит через начало координат с наклоном, равным выборочному среднему: это оценка масштаба и по методу моментов, и по методу максимального правдоподобия. Нижняя граница — три значения с разбросом: они нужны для наклона по квартилям, а постоянная выборка даёт 0 ⁄ 0.

Проверка. Для времени ожидания в кафе линия по квартилям имеет наклон 2.89 и свободный член 4.95, что близко к SD 2.91 и медиане 4.9, и не сдвигается из-за двух участников, ждавших больше 16 минут.

Полоса — поточечная огибающая порядковых статистик, построенная только в пределах наблюдаемого диапазона. Стандартная ошибка i-й порядковой статистики приближённо равна $\text{SE}\approx |\text{slope}|/f(F^{-1}(p))\cdot \sqrt{p(1-p)/n}$, где f — плотность эталона в замкнутой форме для каждого семейства: нормальная плотность для нормального и логарифмированного логнормального, плотность Стьюдента для t, 1 − p для экспоненциального и 1 для равномерного. Полоса равна линии ± z × SE на уровне доверия из настроек. Она вычисляется между позициями наименьшего и наибольшего значений, а не по всей оси: округлённая ось заходит в хвосты, где f → 0, и SE раздувается в раструб, ничего не говорящий о данных. Оставшаяся часть обрезается по прямоугольнику графика, потому что путь, лишь скрытый обрезкой, всё равно расширяет границы экспортированного рисунка. В детрендированном режиме полоса симметрична относительно нуля.

Число степеней свободы Стьюдента не меньше 2, а пустое поле означает n − 1. При числе степеней свободы меньше 2 обратная функция распределения t и его плотность, на которых построены квантили и полоса, не могут быть обе корректно определены. Поэтому введённое значение меньше 2 поднимается до 2, а пустое поле даёт max(2, n − 1), естественный эталон для выборки объёма n.

Логнормальный эталон — это нормальный эталон для log(x), а значения вне носителя отбрасываются поштучно. Прямую эталонную линию даёт только семейство со сдвигом и масштабом, а логнормальное распределение в исходной шкале к таким не относится. Поэтому выборка логарифмируется и сравнивается с нормальным распределением, что заодно возвращает полосе замкнутую форму. О логарифмировании сообщают подписи осей. Носитель логнормального распределения исключает ноль и отрицательные значения, носитель экспоненциального — только отрицательные, и каждое семейство отбрасывает значения вне своего носителя по отдельности, а не отказывается от всего графика из-за одного случайного значения: пояснение называет их число, и объём в углу уменьшается. Формулировка своя для каждого семейства. Если бы экспоненциальная ветка называла отброшенные значения «неположительными», пользователь с нулями решил бы, что нули отброшены, хотя они сохранены.

В режиме наложения каждая переменная стандартизуется по собственной эталонной линии. Переменные в разных шкалах не могут делить одну ось выборки, поэтому каждая сначала переводится через свою линию в (значение − свободный член) ⁄ наклон. Это линия по квартилям, для экспоненциального эталона линия через начало координат, а для логнормального та же линия после логарифмирования. После стандартизации эталоном для любого семейства становится y = x. Полоса рисуется для каждой переменной с наклоном 1 и свободным членом 0 вокруг этой линии, а детрендирование вычитает её. Переменную с нулевым или неопределённым наклоном (постоянная выборка или экспоненциальная выборка из одних нулей) стандартизовать нельзя, и она отбрасывается с пояснением. Так же поступают с переменной, у которой после отбора по носителю осталось меньше двух значений.

Детрендирование меняет вид, а не данные. Остаток каждой точки от эталонной линии откладывается против того же теоретического квантиля, так что линия становится прямой y = 0, а ось Y подписывается как остатки. По той же причине и всплывающая подсказка называет значение по Y остатком. Диапазон оси Y расширяется до нуля, чтобы у выборки, все остатки которой лежат по одну сторону, эталонная линия не уходила за край оси.

Скрипичный график #

Скрипичный график — та же ядерная плотность, что у гистограммы, обрезанная по данным и масштабированная к общей ширине. Контур строится тем же гауссовым ядром с той же робастной шириной окна Сильвермана и тем же нижним пределом для целых, в 101 точке от наименьшего до наибольшего значения группы (как trim = TRUE в ggplot). Расчёт на всём расширенном диапазоне оси с нулями на концах изображал бы плотность там, где данных нет, и давал бы на малых n искусственный обрыв. Каждый скрипичный график масштабируется так, чтобы его собственный пик занимал одну и ту же ширину: формы групп остаются сравнимыми, тогда как при масштабировании по площади малая группа сжалась бы в узкую полоску. Размер группы, о котором такое масштабирование умалчивает, сообщает n в углу. У группы меньше чем из двух значений нет ширины окна, а у группы без разброса она нулевая, поэтому такие группы не рисуются в виде пика, а называются в пояснении. Ящик с усами и ЭФР на той же карточке их сохраняют, а цветовая шкала строится по полному списку групп, чтобы отброшенная группа не сдвигала цвета соседей. Внутренний ящик повторяет сводку ящика с усами по квартилям типа 7, включая усы.

Проверка. Для времени ожидания в кафе ширина окна скрипичного графика та же, что у гистограммы, 0.92 минуты, а контур идёт от 0.3 до 19.9.

График ЭФР #

Полоса Уилсона ограничена наблюдаемыми значениями, а полоса DKW идёт по всему расширенному диапазону. На каждой ступеньке интервал Уилсона рассматривает долю значений, не превышающих данное, как биномиальную пропорцию и потому сужается к 0% и 100%, как и любой интервал для пропорции. При p = 0 его центр равен z² ⁄ 2n > 0, и продолженный на поля оси он давал бы заметное утолщение за пределами данных, поэтому вычисляется только в наблюдаемых значениях. Полоса Дворецкого — Кифера — Вольфовица откладывает постоянное $\epsilon =\sqrt{\ln (2/\alpha )/(2n)}$ по обе стороны кривой. Только эта конструкция даёт одновременное покрытие всей кривой. Она продолжается на весь расширенный диапазон, включая крайние точки 0 и 1, чтобы следовать за хвостами нарисованной кривой. Полоса Уилсона выбрана по умолчанию, потому что большинство читателей понимают под полосой вокруг кривой именно интервал в каждой точке, а DKW предлагается для утверждений о распределении в целом.

Проверка. Для 185 значений времени ожидания в кафе при 95% полоса Уилсона составляет ±7.1 процентного пункта у медианы и идёт от 2.7% до 9.2% вокруг точки 5%, тогда как полоса DKW везде равна ±10.0 пункта.

Столбчатая диаграмма #

Редкий хвост сворачивается в «Прочие» после 25 столбцов и после 10 секторов. За этими пределами хвост нечитаем и вытесняет то, ради чего рисунок построен. Столбчатая диаграмма допускает больше категорий, чем круговая, потому что её подписи наклоняются, а круговой нужны строка легенды и читаемый сектор на каждую категорию. Свёрнутые категории суммируются в одну, и пояснение сообщает, сколько их, так что количества на рисунке по-прежнему сходятся. Категории упорядочены по количеству, а равные — по алфавиту, поэтому перерисовка воспроизводима.

Круговая диаграмма #

Числовая круговая диаграмма делится так же, как гистограмма, а пустые интервалы опускаются. При автоматическом выборе целочисленные данные, у которых не больше 50 различных значений, получают по сектору на значение, а все остальные — по сектору на интервал по правилу гистограммы и её настройке, так что круговая диаграмма и гистограмма одной переменной совпадают сектор в столбец. Интервал с нулевым количеством ничего не рисует, но занял бы строку легенды, поэтому он опускается. Процент печатается внутри сектора только начиная с 15° дуги, так как у более узкого сектора подпись наезжает на соседей. Легенда же в любом случае называет каждый сектор с его количеством.